Числовые характеристики случайных величин
К числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, начальные и центральные теоретические моменты, а также мода, медиана, квантили, коэффициенты ассимметрии и эксцесса.
Модой Mo(X) случайной величины X называется её наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности w(x) достигает локального максимума. Если мода единственна, т.е. вероятность или плотность вероятности достигает максимума только в одной точке, то распределение называют унимодальным, в противном случае – полимодальным.Медианой Me(X) непрерывной случайной величины X называется такое её значение, для которого
т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее медианы или большее её, одна и та же и равна 0,5. Геометрически вертикальная прямая x = Me(X), проходящая через точку с абсциссой, равной Me(X), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке x = Me(X) функция распределения равна 0,5, т.е. F[Me(X)]=0,5.
Квантилем уровня q (q-квантилем) называется такое значение xq случайной величины, при котором функция её распределения принимает значение, равное q, т.е.
 |
Квантиль уровня 0,25 x0,25 называется нижним квартилем. Квантиль уровня 0,75 x0,75 называется верхним квартилем. Квантиль уровня 0,5 x0,5 называется медианой.
Математическое ожидание M(X) (первый начальный момент n1) характеризует положение распределения случайной величины X на числовой оси. Дисперсия D(X) (второй центральный момент m2) характеризует степень рассеяния распределения случайной величины X относительно M(X). Третий центральный момент m3 служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, её делят на s3, где s - среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Полученная величина A называется коэффициентом асимметрии случайной величины:
Четвёртый центральный момент m4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения. Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число:
 |
Число 3 вычитается потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение m4 / s4 = 3. Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.