§10. Дискретные случайные величины и их характеристики
Понятие случайной величины является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.
Случайная величина, принимающая конечное число или бесконечную последовательность различных значений, называется дискретной величиной.
Приведем некоторые примеры дискретных случайных величин.
1. Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Эта случайная величина может принимать одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Число родившихся мальчиков среди четырех новорожденных. Эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.
Определение 2. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.
Например, прирост веса домашнего животного за месяц есть непрерывная случайная величина, которая может принять значение из некоторого числового промежутка.
Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения –– соответствующими строчными буквами x, y, z.
Рассмотрим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Дискретная случайная величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принимать эти значения.
Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения случайной величины. Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы:
| Х | х1 | х2 | … | хn |
| р | p1 | p2 | … | pn |
В верхней строке вписываются все возможные значения х1, х2, …, хn величины X, в нижней строке выписываются вероятности р1, р2, …, рn значений х1, х2, …, хn.
Поскольку в результате испытания величина Х принимает одно из значений х1, х2, …, хn, то р1 + р2 + … + рn = 1.Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 5 000 000 бел. руб., 10 выигрышей по 1 000 000 бел. руб. и 100 выигрышей по 10 000 бел. руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Здесь возможные значения для Х есть: х1 = 0, х2 = 10 000, х3 = 1 000 000, х4 = 5 000 000. Их вероятности будут р2 = 0,01; р3 = 0,001; р4 = 0,0001; р1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889. Таким образом, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:
| Х | 0 | 10 000 | 1 000 000 | 5 000 000 |
| р | 0,9889 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 |
Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки М1(х1; р1), М2(х2; р2), …, Мn(хn; рn), (хi –– возможные значения Х, рi –– соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.
Определение 3. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:
М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + + хnрn.
Пример 2. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.
Решение. Используя полученную там таблицу, имеем:
М(Х) = 0 ? 0,9889 + 10 000 0,01 + 1 000 000 ? 0,001 +
+ 5 000 000 ? 0,0001 = 1600.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближению равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).
Допустим, что произведено n испытаний, в которых дискретная случайная величины Х приняла значения х1, …, хk соответственно т1, …, тk раз, так, что т1 + т2 +… + тk = n.
Среднее арифметическое всех значений, принятых величиной Х, выразится равенством
При достаточно большом числе испытаний 
(і = 1, …, k). Поэтому
.
Определение 4. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине:
М(С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = СМ(Х).
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(ХY) = М(Х)М(Y).
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).
Пример 3. Независимые случайные величины заданы законами распределения
| Х | 1 | 2 |
| р | 0,2 | 0,8 |
| Y | 2 | 4 |
| р | 0,3 | 0,7 |
Найти математическое ожидание случайной величины ХY.
Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
М(Х) = 1 ? 0,2 + 2 ? 0,8 = 0,2 + 1,6 = 1,8.
М(Y) = 2 ? 0,3 + 4 ? 0,7 = 0,6 + 2,8 = 3,4.
Случайные величины Х и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание
М(ХY) = М(Х)М(Y) = 6,12.
Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины Х и Y своими законами распределения:
| Х | –2 | 0 | 2 |
| р | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
| Y | –100 | 0 | 100 |
| р | 0,4 | 0,2 | 0,4 |
Несмотря на то, что математические ожидания величин Х и Y одинаковы:
М(Х) = –2 ? 0,3 + 0 ? 0,4 + 2 ? 0,3 = 0,
М(Y) = –100 ? 0,4 + 0 ? 0,2 + 100 ? 0,4 = 0,
однако возможные значения случайных величин Х и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по–разному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.
Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Определение 5. Дисперсией D(X) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = М(Х – М(Х))2.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) = М(Х2) – (М(Х))2.
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю:
D(С) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(СX) = С2D(X).
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(Х + Y) = D(Х) + D(Y).
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий:
D(Х – Y) = D(Х) + D(Y).
Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения:
| Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| р | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Решение. Находим математические ожидания случайной величины Х и квадрата ее:
М(Х) = 1 ? 0,1 + 2 ? 0,2 + 3 ? 0,3 + 4 ? 0,3 + 5 ? 0,1 = 3,1;
М(Х2) = 12 ? 0,1 + 22 ? 0,2 + 32 ? 0,3 + 42 ? 0,3 + 52 ? 0,1 = 10,9.
Отсюда
D(X) = М(Х2) – (М(Х))2 = 10,9 – (3,1)2 = 1,29.
Определение 6. Средним квадратическим отклонением 
случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:
.
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х–числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернули:
.
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
Будем говорить, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает значения k (k = 0, 1, 2, 3, …) c вероятностями
,
где k –– число появлений события в n независимых испытаниях, вероятность р появлению события в каждом испытании очень мала, 
.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равно параметру этого распределения 
:
Дисперсия распределения Пуассона равна параметру l:
