3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Определение 1. Случайная величина X называется дискретной, если множество значений, которое она может принимать не более чем счетно, то есть либо конечно либо счетно. (Множество называется счетным, если каждому элементу можно поставить в соответствие число натурального ряда).
Пусть X – дискретная случайная величина принимает значение при этом будем предполагать, что все попарно различны.
Определение 2. Рядом распределения дискретной случайной величины X называется совокупность пар чисел , где - возможные значения случайной величины, а pi – вероятности, с которыми она принимает эти значения. События образуют полную группу попарно не совместных событий. Ряд распределения можно представить в виде таблицы(Табл.3.3.1) или многоугольника распределения(Рис.3.3.1). Табл.3.3.1
xi | X1 | x2 | … | xn |
pi | P1 | p2 | … | pn |
Зная ряд распределения, либо многоугольник распределения можно построить функцию распределения случайной величины(Рис. 3.3.2), которая является исчерпывающей характеристикой случайной величины X.
(3.3.6.) |
Отметим, что величина скачка в точке, являющейся возможным значением случайной величины, равна вероятности pi того, что случайная величина Х примет значение xi.
Пример. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Построить ряд распределения для числа попаданий в мишень(см. Табл.3.3.2).
Х - число попаданий в мишень при трех выстрелах.
Табл.3.3.2
xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
pi | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
В качестве другого важного класса случайных величин можно выделить непрерывные случайные величины.
Определение 3. Распределение случайной величины X называется непрерывным, если существует такая, интегрируемая функция , что выполняется условие
(3.3.7) |
Функция f(x) называется плотностью вероятности(плотностью распределения вероятности) или дифференциальным законом распределения.
Свойства плотности распределения.
1) - не отрицательная функция.
2)Если F(x) – дифференцируемая функция, то
3)Вероятность того, что случайная величина будет находится в пределах определяется соотношением
(3.3.8) |
4)
(3.3.9) |
Плотность распределения, так же как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. Однако она не является универсальной характеристикой случайной величины, так как существует только для непрерывных случайных величин.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с плотностью распределения f(x)( Рис.3.3.3).
Выделим элементарный участок dx. Вероятность попадания величины Х на этот участок f(x)dx называют элементом вероятности.