Плотность вероятности непрерывной случайной величины
Существует ещё один способ задания непрерывной случайной величины.
 |
Каждому отдельному возможному значению непрерывной случайной величины соответствует вероятность 0 (следствие 2 свойства 2 функции распределения).
Рассмотрим промежуток от x до x+ Dx: P(x £ X £ x+ Dx) = F(x+ Dx) – F(x) (следствие 1 свойства 2 функции распределения). Рассмотрим случай, когда F(x) дифференцируема для любого x. Тогда при малом x справедливо приближение: F(x+ Dx) – F(x) »F’(x) Dx (1) Приближение тем лучше, чем меньше Dx. Рассмотрим промежуток (-¥, x). Этот промежуток можно разбить на счётную совокупность интервалов длины Dx. Вероятность того, что случайная величина примет значение на каком-то из этих интервалов левее точки x равна сумме ряда вероятностей принятия случайной величиной значения на этих интервалах.Каждое слагаемое этого ряда можно приближённо представить в виде (1). Предел суммы этого ряда при Dx ®0 представляет собой:
 | |||
 | |||
Плотностью вероятности (плотностью распределения) w(x) непрерывной случайной величины X называется производная её функции распределения w(x) = F’(x) (3) Из дифференциального уравнения (3) следует
 |
Очевидно, что (4) ~ (2).
Свойства плотности распределения: 1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. w(x) ? 0. 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b, т.е.
 |
3. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -¥ до +¥ равен единице:
Геометрически свойство 1 означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения расположены либо над осью Ox, либо на ней; свойство 3 означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox и кривой распределения (графиком плотности распределения) равна единице.