Непрерывные распределения вероятностей

(х-тх)2

/(Х) = —. (1.48)

Непрерывная случайная величина X принимает значения от -оо до + ©о.

(х-тх)

F(X) = —7~Je 2а* dx. (1.49)

ox^J2u -оо

Типичные графики плотности вероятности fix) и функции нормального распределения приведены на рис. 1.8.

Кривой плотности вероятности f{x) нормального распределения является плавная колоколообразная симметричная кривая, уравнение которой - формула (1.48).

Перечислим основные свойства нормального распределения.

Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.

Кривая плотности вероятности f(x) нормального распределения симметрична относительно математического ожидания тх. Максимум плотности распределения соответствует абсциссе, равной тх.

При |х| ©о ветви кривой распределения асимптотически приближаются к оси Ох.

Математическое ожидание случайной величины X, распреде-ленной в соответствии с нормальным законом, совпадает по вели-чине с ее модой и медианой.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.

Величина математического ожидания не влияет на форму кривой плотности распределения Дх). С возрастанием сх максимальная ордината кривой —постоянно убывает и нормальная

Gx^J2n

кривая становится все более пологой. При уменьшении ах нормальная кривая становится все круче, т. е. растягивается вдоль оси ординат. При значении ах = 1 и тх = 0 нормальную кривую называют нормированной, а соответствующий закон распределения — стандартным нормальным законом распределения с плотностью

(

\

е 2, -оо<г<оо. (1.50)

л/2я

Соответствующая функция распределения имеет вид:

1

•dz.

(1.51)

Ф(г)= /

(х-тх)

Путем подстановки Z =

нормальное распределение с

произвольными параметрами тх и сх приводится к стандартному виду.

(1.52)

где

ДР)=

(1.53)

(1.54)

F( а) =

Интегралы (1.53) и (1.54) не выражаются через элементарные функции, поэтому для вычислений по формуле (1.52) обычно осу-ществляют замену Z2 = и Z\ = и переходят к функции стандартного нормального закона распределения, которая имеет вид формулы (1.51). Тогда

Р(а < X < (3) = Др) - F(a) = Ф(*2) - Ф(^).

Значения функции стандартного нормального закона распреде-ления табулированы и приведены в приложении 6.

Отклонения случайной величины X от математического ожидания практически заключены в интервале ±3ах, при этом вероятность попадания X в данный интервал равна 0,9973.

Пример 1.4. Среднее время обслуживания персонального компьютера (ПК) t = 2 ч. Среднее квадратическое отклонение времени обслуживания равно а, = 0,403 ч.

Определить вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2,5 ч.

Решение

Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5; 2,5] будет равна:

/7(1,5 Определим Z'

' С2 -О . г ('1-0. (2,5-2)

OSZ^. 124

По таблицам приложения 6 определим значение стандартной нормальной функции распределения:

Ф(z2) - Ф(1,24) - 0,892;

Ф(*і) = Ф(—1,24) = 0,107. .

4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени [1,5; 2,5] будет равна:

/?(1,5 < t < 2,5) = Ф(z2) - <&(z0 = 0,892 - 0,107 = 0,785.

Г. Гамма-распределение и распределение Эрланга. Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения вычисляется по формуле

Хкхк~хе~1х

/*<*> = ^ при х > О, (1.55)

где Я > 0 и к > 0;

Г(А) - гамма-функция равна:

Г (*) = /*-'-Л" . Л, (1.56)

о

если к — целое неотрицательное число, то

Г(*) = к\ (1.57)

Математическое ожидание случайной величины X, подчиненной гамме-распределению, равно:

mx=t (1.58)

При этом дисперсия величины X определяется по формуле

(1.59)

При целом к > 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга к-то порядка, т.

/*(*) = ^ (х>0; * = 1,2,...). (1.60)

Закону Эрланга к-то порядка подчинена сумма независимых случайных величин хх + х2 + ... + хк, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром Я.

При к = 1 гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром X.

Д. Показательное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой

(1.61)

fix) = X • е'**, х > 0.

Положительная величина X является параметром показательного распределения.

Функция распределения случайной величины X выглядит следующим образом:

(1.62)

F(x) = 1 - е'**, Х>0,0<х<оо.

Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.9.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательное распределение, обратно его параметру, т. е.

Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное распределение, равна:

Ас=Л. (1.64)

А

Отсюда

(1.65)

Коэффициент вариации случайной величины X, имеющей показательное распределение, равен единице:

тх

Существует важное соотношение между пуассоновским и экс-поненциальным распределениями. Если случайная величина под-чинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно в сущности вывести из распределения Пу-ассона.

Е. Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [а, 6], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его - рав-на нулю:

1 .

7— при а<х<Ь; Ь-а (1.66)

О х>Ъ\ х<а.

'ТІ

S^J

b-a

a mx b x

Рис. 1.10. Кривая равномерного распределения

Значения J{x) в крайних точках а и b участка (я, Ь) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.

Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.10. f(x)

Кривая равномерного распределения (рис. 1.10) имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок [а, Ь].

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [а, Ь], равно:

а + Ь /1 тх=-—. (1.67)

Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [а, Ь], вычисляется по формуле

(1-68)

* 12

Отсюда

Ь-а

(1.69)

=

2л/з '

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины Хна участок [а, (3] выразим формулой

Р(а<*< = (1.70)

Ь-а

Пример 1.5. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 мин?

Решение

Так как ((3 - а) = 3 мин, a (b - а) = 4 мин, то

Р(0<Лг<3) = т = 0,75.

4