Непрерывные распределения вероятностей
(х-тх)2
/(Х) = —. (1.48)
Непрерывная случайная величина X принимает значения от -оо до + ©о.
Соответствующая функция распределения равна:(х-тх)
F(X) = —7~Je 2а* dx. (1.49)
ox^J2u -оо
Типичные графики плотности вероятности fix) и функции нормального распределения приведены на рис. 1.8.
Кривой плотности вероятности f{x) нормального распределения является плавная колоколообразная симметричная кривая, уравнение которой - формула (1.48).
Перечислим основные свойства нормального распределения.
Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.
Кривая плотности вероятности f(x) нормального распределения симметрична относительно математического ожидания тх. Максимум плотности распределения соответствует абсциссе, равной тх.
При |х| ©о ветви кривой распределения асимптотически приближаются к оси Ох.
Математическое ожидание случайной величины X, распреде-ленной в соответствии с нормальным законом, совпадает по вели-чине с ее модой и медианой.
Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.
Величина математического ожидания не влияет на форму кривой плотности распределения Дх). С возрастанием сх максимальная ордината кривой —постоянно убывает и нормальная
Gx^J2n
кривая становится все более пологой. При уменьшении ах нормальная кривая становится все круче, т. е. растягивается вдоль оси ординат. При значении ах = 1 и тх = 0 нормальную кривую называют нормированной, а соответствующий закон распределения — стандартным нормальным законом распределения с плотностью
(
\
е 2, -оо<г<оо. (1.50)
л/2я
Соответствующая функция распределения имеет вид:
1
•dz.
(1.51)
Ф(г)= /
(х-тх)
Путем подстановки Z =
нормальное распределение с
произвольными параметрами тх и сх приводится к стандартному виду.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал от а до р равна:(1.52)
где
ДР)=
(1.53)
(1.54)
F( а) =
Интегралы (1.53) и (1.54) не выражаются через элементарные функции, поэтому для вычислений по формуле (1.52) обычно осу-ществляют замену Z2 = и Z\ = и переходят к функции стандартного нормального закона распределения, которая имеет вид формулы (1.51). Тогда
Р(а < X < (3) = Др) - F(a) = Ф(*2) - Ф(^).
Значения функции стандартного нормального закона распреде-ления табулированы и приведены в приложении 6.
Отклонения случайной величины X от математического ожидания практически заключены в интервале ±3ах, при этом вероятность попадания X в данный интервал равна 0,9973.
Пример 1.4. Среднее время обслуживания персонального компьютера (ПК) t = 2 ч. Среднее квадратическое отклонение времени обслуживания равно а, = 0,403 ч.
Определить вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2,5 ч.
Решение
Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5; 2,5] будет равна:
/7(1,5 Определим Z'
' С2 -О . г ('1-0. (2,5-2)
OSZ^. 124
По таблицам приложения 6 определим значение стандартной нормальной функции распределения:
Ф(z2) - Ф(1,24) - 0,892;
Ф(*і) = Ф(—1,24) = 0,107. .
4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени [1,5; 2,5] будет равна:
/?(1,5 < t < 2,5) = Ф(z2) - <&(z0 = 0,892 - 0,107 = 0,785.
Г. Гамма-распределение и распределение Эрланга. Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения вычисляется по формуле
Хкхк~хе~1х
/*<*> = ^ при х > О, (1.55)
где Я > 0 и к > 0;
Г(А) - гамма-функция равна:
Г (*) = /*-'-Л" . Л, (1.56)
о
если к — целое неотрицательное число, то
Г(*) = к\ (1.57)
Математическое ожидание случайной величины X, подчиненной гамме-распределению, равно:
mx=t (1.58)
При этом дисперсия величины X определяется по формуле
(1.59)
При целом к > 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга к-то порядка, т.
е./*(*) = ^ (х>0; * = 1,2,...). (1.60)
Закону Эрланга к-то порядка подчинена сумма независимых случайных величин хх + х2 + ... + хк, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром Я.
При к = 1 гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром X.
Д. Показательное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой
(1.61)
fix) = X • е'**, х > 0.
Положительная величина X является параметром показательного распределения.
Функция распределения случайной величины X выглядит следующим образом:
(1.62)
F(x) = 1 - е'**, Х>0,0<х<оо.
Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.9.
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательное распределение, обратно его параметру, т. е.
Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное распределение, равна:
Ас=Л. (1.64)
А
Отсюда
(1.65)
Коэффициент вариации случайной величины X, имеющей показательное распределение, равен единице:
тх
Существует важное соотношение между пуассоновским и экс-поненциальным распределениями. Если случайная величина под-чинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно в сущности вывести из распределения Пу-ассона.
Е. Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [а, 6], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его - рав-на нулю:
1 .
7— при а<х<Ь; Ь-а (1.66)
О х>Ъ\ х<а.
'ТІ
S^J
b-a
a mx b x
Рис. 1.10. Кривая равномерного распределения
Значения J{x) в крайних точках а и b участка (я, Ь) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.
Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.10. f(x)
Кривая равномерного распределения (рис. 1.10) имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок [а, Ь].
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [а, Ь], равно:
а + Ь /1 тх=-—. (1.67)
Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [а, Ь], вычисляется по формуле
(1-68)
* 12
Отсюда
Ь-а
(1.69)
=
2л/з '
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины Хна участок [а, (3] выразим формулой
Р(а<*< = (1.70)
Ь-а
Пример 1.5. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 мин?
Решение
Так как ((3 - а) = 3 мин, a (b - а) = 4 мин, то
Р(0<Лг<3) = т = 0,75.
4