<<
>>

1 .4. Основные законы распределения случайных величин

Полигон распределения и гистограмма есть реализация распределения выборочной совокупности при ограниченном числе на-блюдений (АО, а предельная кривая при N —> <*> является распределением генеральной совокупности. Распределение генеральной совокупности является теоретическим распределением. Отдельные распределения изучены и поддаются точному аналитическому описанию. Приведем некоторые из них.

Дискретные законы распределения

А. Биномиальное распределение. Это распределение числа X появления события А в серии из п независимых испытаний.

Вероятность наступления события А в каждом испытании равна р, а вероятность его отсутствия q = 1 — р. В каждом испытании возможны два исхода: наступление или ненаступление события А. При сформулированных условиях ряд распределения числа появления события А определяется формулой Бернулли

Р(Х = т) = СДУ(1 — р)п~т(т = 0,1, ... л), (1.41)

или

Р(Х = т) = = 0,1, п), (1.42)

где Р(Х = т) — вероятность появления события А равна т раз в серии из п испытаний.

Характер биномиального распределения определяется двумя параметрами р и п. На рис. 1.6 показаны многоугольники биноми-ального распределения для некоторых значений этих величин.

о т Р(х = т) < р = 0,9; п = - р = 0,5; п =: > Рис. 1.6. Примеры кривых биномиального распределения

Определим числовые характеристики биномиального распреде-ления случайной величины X: математическое ожидание

М[Х\ = пр\

дисперсию

коэффициент асимметрии (скошенности) распределения

Я-Р .

л[прд'

коэффициент эксцесса (мера крутости) распределения

1-6 pq

Су =-

npq

Из формул (1.45) и (1.46) следует, что при р = q биномиальное распределение симметрично относительно математического ожида-ния, следовательно, эксцесс достигает наибольшее по модулю отрицательное значение. Если сх > 0 имеется положительный эксцесс (вершина сильно вытянута); если сх < 0 — отрицательный эксцесс (низковершинная кривая); если сх = 0 — нормальное рас-пределение.

Если ах> 0 — асимметрия положительная; если ах< 0 — асимметрия отрицательная; если ах = 0 — распределение симметричное. Пример 1.2. Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функционирующих узлов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них р = 0,2.

Решение

Математическое ожидание числа отказов:

М[Х\ = пр = 5 • 0,2 = 1.

Дисперсия:

Вх = npq — 5 • 0,2 • 0,8 = 0,8.

Среднее квадратическое отклонение:

ах = л/Б^ = ТМ = 0,8944.

Коэффициент асимметрии:

; о,8~о,2 =0)67L

л[прд V5'°>2'0>8

5. Коэффициент эксцесса:

= 0,05.

1-6 рд 1-6-0,2-0,8 npq ~ 5 0,2 0,8

Б. Распределение Пуассона. Данное распределение является предельным случаем биномиального распределения. Предположим, что в биномиальном распределении р 0 и п —> так, что п - р —> М[Х\ = а > 0. Тогда плотность вероятности биномиального распределения принимает вид:

(ак-е'а) ак

Р(х = т) = -———- = — .е~а, к = 0,1, 2,..., (1.47)

что и является распределением Пуассона. Формула (1.47) выражает ряд распределения Пуассона. Заметим, что распределение Пуассона зависит только от одного параметра — математического ожи-

дания М[Х\ = а. Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей распределение Пуассона, равны величине а > О, а именно дисперсия случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близости эмпирического распределения к распределению Пуассона.

На рис. 1.7 показаны кривые распределения Пуассона, отвечающие различным значениям математического ожидания:

Из рис. 1.7 следует, что при увеличении математического ожидания а кривые распределения Пуассона становятся более симметричными. При а > 10-5- 11 несимметричность распределения практически не ощущается и закон Пуассона можно заменять нормальным законом распределения с определенными допущениями.

Пример 1.3. Определить вероятность того, что на АЗС находится один или хотя бы один автомобиль, если среднее число автомобилей, находящихся в данном интервале времени на АЗС, а = 3.

Решение

Вероятность нахождения одного автомобиля на АЗС сле-дующая:

ат а1

р(Х = \) = Z—.e-* =2-.е-"=а.е-" =з.?-3 =0,149. т\ 1!

Вероятность того, что на АЗС находится хотя бы один автомобиль, равна вероятности того, что на АЗС находится не менее одного автомобиля, т. е.

P(Z>l) = l-P(Ar = 0) = l~~j- 1-е"3 =0,95.

<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме 1 .4. Основные законы распределения случайных величин:

  1. 4.3. Оценка качества алгоритма идентификации состояния сцены на основе энтропийого критерия
  2. Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика
  3. 1.1. Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях
  4. 1 .4. Основные законы распределения случайных величин
  5. Непрерывные распределения вероятностей
  6. Моделирование случайных величин.
  7. г) Признаки и понятие закона
  8. Глава 7. Основные формы переходного периода и пути их реализации
  9. 4. Закон. Динамические и статистические закономерности
  10. 8.Практическое занятие №8 « Нахождение вероятности событий, функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины»
  11. Числовые характеристики случайных величин
  12. §12. Оценки параметров распределения
  13. Статистический анализ
  14. 2.1. Определение основных параметров случайных величин и