<<
>>

6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.

Изложим общий метод решения задачи для наиболее простого случая функции двух аргументов.

Имеется система двух непрерывных случайных ве­личин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y).

Слу­чайная величина Z связана с X и Y функциональной зависимостью:

Требуется найти закон распределения величины Z.

Для решения задачи вос­пользуемся геометрической интерпретацией. Функия изобразится уже не кривой, а поверхностью (рис. 6.2.1).

Найдем функцию распределения величины Z:

(6.2.1)

Проведем плоскость Q, параллельную плоскости хОу, на расстоя­нии z от нее. Эта плоскость пересечет поверхность по некоторой кривой К. Спроектируем кривую К на плоскость хОу. Эта проекция, уравнение которой , разделит плоскость хОу на две области; для одной из них высота поверхности над пло­скостью хОу будет меньше, а для другой — больше z. Обозначим D ту область, для которой эта высота меньше z. Чтобы выполнялось неравенство (6.2.1), случайная точка (X,Y) очевидно, должна по­пасть в область D; следовательно,

(6.2.2)

В выражение (6.2.2) величина z входит неявно, через пределы интегрирования.

Дифференцируя G(z) по z, получим плотность распределения величины Z:

(6.2.3)

Зная конкретный вид функции , можно выразить пре­делы интегрирования через z и написать выражение g(z) в явном виде.

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме 6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.:

  1. 3.1. Нормальный закон распределения случайной величины
  2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
  3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
  4. Система случайных величин.
  5. Плотность распределения системы двух случайных величин.
  6. Числовые характеристики случайных величин
  7. Многомерные случайные величины
  8. Примеры законов распределения непрерывных случайных величин
  9. Содержание
  10. 5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
  11. 5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
  12. 5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
  13. 5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
  14. Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
  15. 6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
  16. 6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
  17. 6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
  18. б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины