6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью рас­пределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею функ­циональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс , на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функ­ции на участке : является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на

участке , случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой ; ордината этой случайной точки полностью опре­деляется ее абсциссой.

Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить , найдем сначала функцию распределения величины Y: .

Проведем прямую АВ, парал­лельную оси абсцисс на расстоянии y от нее(рис. 6.1.1). Чтобы выполнялось условие , случайная точка (X,Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,

(6.1.1)

Так, как монотонная на участке , то существует обратная однозначная функция . Тогда

(6.1.2)

Дифференцируя интеграл (6.1.2) по переменной у, входящей в верх­ний предел, получим:

(6.1.3)

2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 6.1.2). В этом случае

(6.1.4)

откуда

(6.1.5)

Сравнивая формулы (6.1.3) и (6.1.5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

(6.1.6)

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и ) положительна.

3. Рассмотрим случай когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 6.1.3).

Найдем функцию распределения G(y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой , на которых выпол­няется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому

(6.1.7)

Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

(6.1.8)

Границы интервалов зависят от у и при заданном конкрет­ном виде функции могут быть выражены как явные функ­ции у.

(6.1.9)

Пример. Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо .

Найти закон распределения величины .

Решение. Строим график функции (рис. 6.1.4). Очевидно , , и в интервале функция немонотонна. Применяя формулу (6.1.8), имеем:

Выразим пределы и через у: ; . Тогда

.

(6.1.10)

Чтобы найти плотность g(у) продифференцируем это выражение по переменной у, входящей в пределы интегралов, получим:

Имея в виду, что , получим:

(6.1.11)

Указывая для Y закон распределения (6.1.11), следует оговорить, что он действителен лишь в пределах от 0 до 1, т.е.

График функции g(у) дан на рис.6.1.5. При у=1 кривая g(у) имеет ветвь, уходящую на бесконечность.