9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим функцию
, определенную на некотором промежутке
.
непрерывна в точке
, если предел функции в точке
равен значению функции в этой точке, 
.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка
, называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке
, справедливы следующие утверждения.
Функция, непрерывная на отрезке 
, достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке 
существуют точки 
такие, что
Если функция 
непрерывна на отрезке и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале
существует точка 
, в которой функция обращается в нуль, т.е. 
.
с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.
Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на интервале
, то на интервале существует точка 
, такая, что 
. Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Если хотя бы одно из равенств 
нарушается, говорят о разрыве в точке . Если 
и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если
и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.
Еще по теме 9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.:
- Определение непрерывности функции. Свойства непрерывной функции, заданной на компактном множестве (показать на примере).
- Свойства непрерывных функций.
- Свойства функций непрерывных в точке.
- Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- Непрерывность функции в точке.
- Тема 14. Непрерывность функции.
- § 16. Непрерывность функций
- Непрерывность некоторых элементарных функций.
- Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
- Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
- 13. Непрерывные функции
- б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- Билет №9 Непрерывная случайная величина. Дифференциальные и интегральные функции.
- 2. Понятие функции комплексной переменного. Предел. Непрерывность
- 2.2. Предел. Непрерывность функции.
- Предел функции и непрерывность, 2017