9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке
.




Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке
, справедливы следующие утверждения.
Функция, непрерывная на отрезке , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке
существуют точки
такие, что
Если функция непрерывна на отрезке
и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале
существует точка
, в которой функция обращается в нуль, т.е.
.

Если функция непрерывна на отрезке
, дифференцируема хотя бы на интервале
, то на интервале
существует точка
, такая, что
. Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке
. Если
и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке
называется устранимым. Если
и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке
. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.