<<
>>

9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке .

Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, .

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке , справедливы следующие утверждения.

Функция, непрерывная на отрезке , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке существуют точки такие, что

Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале существует точка , в которой функция обращается в нуль, т.е. .

Это утверждение применяют для отделения корней уравнений с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на интервале , то на интервале существует точка , такая, что . Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . Если и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

<< | >>
Источник: Неизвестный. Высшая математика. Ответы на экзамен. 2015

Еще по теме 9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.:

  1. СЕМАНТИЧЕСКАЯ ТЕМАТИКА В МАРКСИСТСКОЙ ГНОСЕОЛОГИИ 
  2. ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ СУДЕБНОЙ МЕДИЦИНЫ
  3. Ответственность позиции и целостность теории.
  4. ИЗУЧЕНИЕ ЯЗЫКА ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ В СОВЕТСКУЮ ЭПОХУ
  5. ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ЯЗЫКА РУССКОЙ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
  6. § 3. Присвоение и растрата
  7. Содержание дисциплины
  8. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  9. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  10. 9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
  11. ПРИЛОЖЕНИЕ К "КЛАССИФИКАЦИИ НАУК".
  12. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  13. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  14. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  15. СЛОВАРЬ1
  16. Классификация субфонем.