2.2. Предел. Непрерывность функции.

Если х < а и х ® а, то пишут х ® а – 0; если х > а и х ® а – пишут х ® а + 0. Числа и называют левым и правым пределом функции f(x) в точке а.

Говорят, что функция f(x) стремится к пределу b при х ® ¥, если для всякого e > 0 можно указать такое N > 0, что для всех х удовлетворяющих условию |x| > N будет выполняться неравенство |f(x) – b| < e.

Функция f(x) стремится к бесконечности при х ® а, (является бесконечно большой при х ® а) если для всякого M > 0, как бы велико оно ни было, можно найти такое d > 0, что для всех х ? а и удовлетворяющих условию |x – a| < d имеет место |f(x)| > M, т.е. (При этом возможно как , так и ). Отметим, что функция может и не стремиться к конечному пределу при х ® а или х ® ¥. Примеры: у = sin x не имеет предела при х ® ¥, а у = sin 1/x – при х ® 0.

Функция a(х) называется бесконечно малой при х ® а или х ® ¥, если или .

Говорят, что если a(х) и b(х) – бесконечно малые при х ® а, и:

1) (или ) – то a – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с b и пишут a = 0 (b).

2) , где m – число отличное от нуля, то a и b бесконечно малые одного порядка. Если m = 1, a и b – эквивалентные бесконечно малые, что можно записать используя уже знакомый символ эквивалентности: a ~b.

3) , где m - число отличное от нуля, то a- бесконечно малая n-го порядка по сравнению с b (т.е.

Отметим, что предел отношения бесконечно малых не изменится при замене их (или одной из них) эквивалентными бесконечно малыми. Это позволяет упростить решение многих задач теории пределов.

Аналогично сравниваются и бесконечно большие функции.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями определяется теоремой: если a(х) - бесконечно малая при х ® а, то функция f(x)=1/a(x) - бесконечно большая при х ® а, и обратно, если f(x) - бесконено большая при x ® а, то a(x)=1/f(x) - бесконечно малая при х ® а

Основные теоремы о пределах.

1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.

lim (u1 + u2 + … + un) = lim u1+ lim u2+ … + lim un

2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.

lim (u1 ? u2 ? … ? un) = lim u1 ? lim u2 ? … ? lim un

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ? 0.

3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥) стремятся к одному и тому же пределу b, то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.

Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом. (2.1)

Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.

Удобно пояснить это графически. На рис. 2.3 приведены графики функций у = х и у = sinх. Легко видеть, что чем меньше х отличается от нуля, тем меньше отличие ординат (значений функций) соответствующих графиков, а при х = 0 они совпадают.

Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид: (2.2)

Число е – иррациональное (также как и число p) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828…; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = logex. Функцию у = ех называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х ). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:

Непрерывность функций. Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке а если:

1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;

2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х0 получит приращение Dх и примет значение х = х0 + Dх. В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х0 + Dх) – f(х0).

Функцию f(х) называют непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(2.3) или (2.3`)

Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие.

Пример:

В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:

.

Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b), где a < b, то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b1, b2 и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода. Эти точки подразделяются на точки скачка, когда b1 ? b2 (скачок равен b2 - b1) и точки устранимого разрыва, когда b1 = b2. Точки разрыва , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).

Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).

1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х1 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x1) ? f(x), где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x2) ≤ f(x).

f(x) на этом отрезке. Поясним с помощью рис. 2.4, на котором представлены графики трех непрерывных на [a, b] функций у1, у2 и у3. Легко видеть, что на интервале [a, b] функция у1 один раз достигает наибольшего М и наименьшего m значений. Функция у2 во всех точках [a, b] имеет одно и то же значение – оно одновременно и наибольшее и наименьшее. Функция у3 на [a, b] дважды принимает наибольшее М и наименьшее m значения. Но хоть один раз наибольшее и наименьшее значения принимает каждая из них!

(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b !)

3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m, заключенное между числами А и В, найдется такая точка х = с, заключенная между a и b, что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.

Контрольные вопросы.

1) Что называется пределом переменной, пределом функции?

2) Что называется бесконечно малой функцией?

3) Поясните графически первый замечательный предел?

4) Какая функция называется непрерывной в точке?

5) Какая точка называется точкой разрыва I рода, II рода (в чём отличие)?

6) Что является наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке?

Тест 15.

1) Найти предел функции при х, стремящемся к нулю справа?

а) 0;

б) ;

в) ;

г) не существует.

2) Пользуясь основными теоремами о пределах найти: :

а) –2;

б) 0;

в) ;

г) .