Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция 
непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
3) Тригонометрические функции sin и cos непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx.
Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) – sinx, или после преобразования:
Действительно, имеется предел произведения двух функций 
и 
. При этом функция косинус – ограниченная функция при Dх®0 
, а т.к.
предел функции синус 
, то она является бесконечно малой при Dх®0.
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Dу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Еще по теме Непрерывность некоторых элементарных функций.:
- Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.
- Некоторые основные элементарные функции (продолжение)
- Некоторые основные элементарные функции комплексного переменного
- 9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
- Определение непрерывности функции. Свойства непрерывной функции, заданной на компактном множестве (показать на примере).
- Свойства функций непрерывных в точке.
- Тема 14. Непрерывность функции.
- §11. Основные элементарные функции
- § 16. Непрерывность функций
- Свойства непрерывных функций.
- Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
- Непрерывность функции в точке.