§ 6. Сходимость последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное.

6.1. Пусть на задано последовательность случайных величин.

Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности к случайной величине , обозначается или , если для при .

Теорема 14. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине тогда и только тогда, когда при .

6.2. Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся с вероятностью 1 к случайной величине , если , обозначается .

Теорема 15. Справедливы следующие утверждения.

1) Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы для любого при .

2) Пусть , тогда .

3) Пусть ., тогда существует подпоследовательность такая, что .

Замечание. Так как для любого = , то условие является достаточным для сходимости .

6.3. Теорема 16. (Егорова) Пусть . Тогда для любого существует измеримое множество такое, что > , причем на множестве сходимость равномерная.

Задача. Докажите самостоятельно утверждение теоремы 16.

6.4. Мы часто будем использовать следующее утверждение.

Лемма 17. (Бореля-Кантелли) Пусть последовательность событий и . Если , то Р(А) = 0.

Доказательство. В силу свойства вероятности имеем

Р(А) = .

Доказательство закончено.