<<
>>

§ 5. Интеграл Лебега. Математическое ожидание.

5.1. Пусть (,F,P) - конечное вероятностное пространство, т.е. существует набор множеств таких, что при и , а - простая случайная величина.

Определение. Математическим ожиданием простой случайной величины , обозначаемым через М, называется величина MP(Ak). Это определение корректно, так как оно не зависит от способа представления случайной величины . Для математического ожидания будем использовать следующее обозначение: PP.

5.2. Дадим определение математического ожидания для случайной величины . В силу теоремы 9 существует монотонная последовательность простых неотрицательных случайных величин таких, что при для каждого . Очевидно, что MM, поэтому существует M (причем он может принять значение ).

Определение. Интеграл Лебега относительно вероятностной меры Р случайной величины , обозначаемый М, определяемый равенством MM называется математическим ожиданием случайной величины .

Это определение будет корректным, если значение предела не зависит от способа выбора аппроксимирующей последовательности (иначе говоря, если и , то M=M).

Лемма 13. Пусть - простые неотрицательные случайные величины , причем . Тогда M ≥ M.

Доказательство. Пусть и . Ясно, что и ,

где , 1B,BF. Поэтому где .

Следовательно . Доказательство закончено.

Замечание. Из утверждения леммы 13 следует, что . В силу симметрии имеем . Отсюда вытекает корректность определения.

5.3. Пусть теперь - произвольная случайная величина. Обозначим .

Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины существует, если хотя бы одна из величин или конечна, т.е. . В этом случае по определению полагается , а - называется интеграл Лебега от по мере Р.

Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины конечно, если и . Отсюда следует, что - конечно тогда и только тогда, когда .

Наряду с можно рассматривать и , если они определены, то их называют моментами - порядка, где r = 1,2,…,k.

5.4. Свойства математического ожидания.

А) Пусть и у случайной величины существует , тогда существует и .

Доказательство. Для простых функций это утверждение очевидно. Пусть , где - простые случайные величины и , следовательно . Значит .

В) Пусть , тогда .

С) Если существует , то .

Доказательство. Так как , то из А) и В) следует, что , то есть .

D) Если существует , то для каждого AF существует . Если конечно, то - конечно.

Доказательство следует из пункта В), так как , .

Е) Если и - случайные величины, причем и , то .

Доказательство. Пусть и - последовательность простых функций таких, что и . Тогда и . Кроме того и . Значит .

F) Если , то .

G) Если , Р-п.н. и , то и .

Доказательство. Пусть , тогда , где . В силу Е) .

Н) Пусть и , тогда Р - п.н.

Доказательство. Обозначим . Очевидно, что . поэтому в силу свойства В) , следовательно , значит для всех , но .

I) Пусть и - случайные величины такие, что и и для всех . Тогда Р - п.н..

Доказательство. Пусть . Тогда . Поэтому , тогда по свойству Е) , а в силу Н) P - п.н., значит Р(В)=0.

J) Пусть - расширенная случайная величина и , тогда P - п.н..

Доказательство. Действительно, пусть и Р(А) > 0. Тогда , что противоречит предположению .

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме § 5. Интеграл Лебега. Математическое ожидание.:

  1. Содержание дисциплины
  2. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  3. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  4. § 5. Интеграл Лебега. Математическое ожидание.
  5. § 7. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.
  6. §7 Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию.
  7. §10 Матрица интенсивности перехода. Уравнения Колмогорова.
  8. §2. Описание простейшей системы массового обслуживания.
  9. §2 Стохастические интегралы по винеровскому процессу.