5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на отрезке [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть x0 Î [a, b] и d > 0. Обозначим через md(x0) и Мd(х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) на интервале (х0 - d, x0 + d):
md(x0) = inf{f(x)}, Md(x0) = sup{f(x)} (х0 - d < x < x0 + d).
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала (х0 - d, x0 + d), которые лежат также и на отрезке [а, b].) Очевидно, md(x0) £ f(x0) £ Md(x0).
Если d уменьшается, то md(x0) не убывает, a Md(x0) не возрастает. Поэтому существуют пределы (конечные или бесконечные)
m(x0) = 
md(x0), Md(x0) = 
Md(x0),
причем, очевидно, md(x0) £ m(x0) £ f(x0) £ M(x0) £ Md(x0).
Определение 4. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).
Теорема 15 (Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было m(x0) = M(x0).
Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное e > 0, найдем такое d > 0, что как только 
< d, так сейчас же 
< e.
Пусть теперь выполнено равенство m(x0) = M(x0). Тогда, очевидно, m(x0) = M(x0) = f(x0) и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.
Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что
m(x0) - e < md(x0) £ m(x0), M(x0) £ Md(x0) < M(x0) + e.
Такое d найдется в силу определения функций Бэра. Эти неравенства означают, что
f(x0) - e < md(x0), Md(x0) < f(x0) + e.
Если теперь x Î (х0 - d, x0 + d), то f(x) лежит между md(x0) и Md(x0), так что f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e. Иначе говоря, из того, что < d вытекает, что < e, т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.
Теорема 16. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.
Доказательство. Проведем доказательство для нижней функции Бэра, для верхней это делается аналогично.
Пусть х0 Î [a, b]Ç{m(x) > c}. Тогда для некоторого l > 0 выполняется неравенство m(x0) > c + l. По определению нижней функции Бэра и свойствам предела найдется такое d > 0, что md(x0) > c + l, т.е.
для любого x Î[a, b]Ç(x0 - d, x0 + d) выполняется неравенство f(x) > c + l. Пусть x1 Î[a, b]Ç(x0 - d, x0 + d). Тогда найдется d1 > 0 такое, что (x1 - d1, x1 + d1) Ì (x0 - d, x0 + d) и, следовательно,
. В силу определения нижней функции m(x1) ? с + l > c. Этим показано, что [a, b]Ç(x0 - d, x0 + d) Ì [a, b]Ç{m(x) > c} и множество [a, b]Ç{m(x) > c} является открытым в [a, b], а значит и измеримым. Этим показано, что одно из множеств Лебега нижней функции Бэра измеримо и, следовательно, сама функция измерима. Теорема 17 (Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R) на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.
Доказательство. По определению нижнего интеграла Дарбу и результатов математического анализа известно, что существует такая последовательность разбиений tk = 
отрезка [a, b], что нижний интеграл Дарбу 
равен
,
где 
. В силу свойств монотонности сумм Дарбу, можно считать, что каждое следующее разбиение tk + 1 является размельчением для предыдущего tk и диаметры разбиений стремятся к нулю (
® 0 при k ®¥).
Определим последовательность простых функций
.
Ясно, что эта последовательность функций не убывает, и если х не является граничной точкой для всех промежутков Dik разбиений tk, то 
. Так как концов отрезков Dik счетное число, то оно имеет меру нуль, и последовательность hk(x)m(x) п.в. Так как интеграл Лебега от простой функции hk(x) равен 
(лемма 3), по теореме о монотонной сходимости получаем
.
Аналогично устанавливается равенство для верхнего интеграла Дарбу
,
где 
.
В соответствии с общей теорией интеграла Римана для интегрируемости функции f(x) на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы верхний и нижний интегралы Дарбу совпадали. Следовательно,
или 
Так как подинтегральная функция неотрицательна, то согласно теоремы 12, подинтегральная функция обязана быть равной 0 почти всюду, что по теореме 15 означает непрерывность функции f(x) почти всюду.
Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное ранее замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет т(х) = М(х). Но ведь т(х) £ f(x) £ М(х). Значит, почти везде f(x) = m(x), и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама.
Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L) 
= (L) 
.
Но, как известно из курса математического анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет si ® (R)
, где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Как показано выше si ® (L) , а, следовательно
(R) = (L) .
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 18. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
В заключение отметим, что функция Дирихле y(x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 17 не обратима.