§2 Стохастические интегралы по винеровскому процессу.

2.1. Пусть на некотором стохастическом базисе задан - одномерный винеровский процесс.

2.2. Перейдем к определениям.

Определение. Измеримая (по паре переменных ) функция называется неупреждающей (по отношению к фильтрации ), если при каждом t она -измерима.

Определение. Неупреждающая функция называется функцией класса , если .

Определение. Неупреждающая функция называется функцией класса , если .

2.3. Определение. Функция называется простой, если для конечного разбиения отрезка [0,T] существуют

случайные величины , где -измерима, а -измерима, , такие, что где

Для простых функций стохастический интеграл определяем равенством

и, так как , то

P- п. н.

Для стохастического интеграла от простой функции будем использовать также обозначение .

Очевидно, что

,

где

Отметим, теперь основные свойства стохастических интегралов от простых функций:

1) P- п.

2) P- п. н. при

3) - P- п. н. непрерывная по t функция,

4) P- п. н.,

5) P- п. н., где простые функции.

Действительно, так как , то имеем

(9)

Рассмотрим первую сумму правой части равенства (9), в силу свойства K^* условного математического ожидания (смотри §12 главы 1) и свойства iii) винеровского процесса, имеем

.

Поэтому, имеем

(10)

Рассмотрим вторую сумму правой части (9). Воспользуемся опять свойством K^* условного математического ожидания и свойствами винеровского процесса, имеем учитывая, что

Здесь мы учли тот факт, является мартингалом относительно меры Р.

. (11)

Таким образом утверждение следует из равенств (9) – (11)

6) Если для всех, то P-п.н. для любого.

7) Процесс - прогрессивно измерим. Это утверждение следует из теоремы 1 главы 3 и, в частности, -измерим при каждом .

8) .

Действительно, из определения стохастического интеграла от простой функции имеем:

Заметим, что для любого j в силу -измеримости , имеем

Отсюда следует утверждение.

2.4. Определим стохастический интеграл для функции из класса . Лемма 8. Пусть функция . Тогда найдется последовательность простых функций таких, что при .

1) Без ограничения общности можно считать функцию ограниченной, т.е. P- п. н. для . В противном случае можно перейти от к функциям , где

и использовать тот факт, что при .

2) Пусть . Если , то сразу можно считать, что функция - финитна по t.

3) Если функция - непрерывна по t P- п. н. почти наверно, то последовательность простых функций строится просто, например, можно положить при . Тогда доказательство леммы следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

4) Если функция - прогрессивно измерима, то последовательность аппроксимирующих функций можно построить следующим образом. Пусть - интеграл Лебега.

Случайный процесс , измерим, является неупреждающим и имеет P- п. н. непрерывные траектории. Поэтому, согласно пункту 3), сделанных выше замечаний, существует последовательность неупреждающих ступенчатых функций , такая, что при . Заметим, что P- п. н. для почти всех существует производная , причем в тех точках, где существует P- п. н. Поэтому для почти всех (по мере ) по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, имеем

при .

5) Докажем теперь лемму в общем случае. Доопределим функцию для отрицательных , полагая при . Пусть -ограничена и финитна. Положим . Заметим, что функция является при каждом фиксированном простой. Лемма будет доказана, если показать, что можно выбрать точку таким образом, что будет выполнено при .

Для этого воспользуемся следующим замечанием: если , -измеримая, ограниченная функция, то . Действительно, согласно пункту 4), для всякого найдется почти всюду такая непрерывная функция , что

(12).

Тогда в силу неравенства Минковского, имеем

.

Отсюда в силу произвольности , следует (12). Из (12) вытекает также, что для

и, в частности,

,

Из последнего равенства следует, что существует такая подпоследовательность чисел , что для почти всех (по мере )

Отсюда, переходя к новым переменным , получим, что для почти всех (по мере ) при и, значит, найдется такая точка , что

Доказательство закончено.

2.3.1. Замечание. Доказательство леммы 8, приведенное выше, имеет ту ценность, что указывает способ построения простых функций непосредственно по .

2.4. Итак, пусть . Тогда, в силу леммы 8, существует последовательность такая, что . Следовательно,

.

Таким образом, последовательность фундаментальна в смысле сходимости в среднеквадратическом, т. е. . Значение этого предела, как нетрудно увидеть, не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Следовательно, определение стохастического интеграла корректно.

2.5. Свойства стохастических интегралов. Пусть .

1) , где

2) Р - п. н., где ,

3) Р - п. н. при.

4) -непрерывная функция t Р - п. н..

5) Р - п. н. при .

6) .

7) Если для всех и , то Р -п. н. для ;

8) Процесс - прогрессивно измерим и, в частности, - измерим при каждом .

9) Процесс - квадратично интегрируемый мартингал с непрерывными траекториями.

2.6. Для построения стохастических интегралов для неупреждающих функций из класса нам понадобятся 2 вспомогательные леммы.

2.6.1. Лемма 9. 1) Пусть .Тогда найдётся последовательность простых функций такая, что по вероятности

. (13).

2) Cуществует последовательность простых функций , где для, для которых (13) выполнено как в смысле сходимости по вероятности, так и с вероятностью единица.

Доказательство этой леммы основано на использовании леммы 8, неравенства Чебышёва и леммы Бореля-Кантелли. Из-за громоздкости доказательства его не приводим.

2.6.2. Лемма 10. Пусть Œ и событие . Тогда

,

в частности

.

Доказательство. Пусть , где

, .

Используя свойство 6) стохастических интегралов, имеем

.

В соответствии со свойствами стохастических интегралов справедливо включение

.

Поэтому для "AÎF_T, имеем

.

Воспользуемся неравенством Колмогорова (теорема 8 главы 3)

,

в силу которого имеем

Доказательство закончено.

2.6.3. Замечание. Утверждения лемм 8, 9, 10 остаются справедливыми, если в их формулировках момент Т заменить на марковский момент s, потребовав при этом, чтобы в них , соответственно.

2.7. С помощью лемм 9 и 10 легко сконструировать стохастический интеграл для неупреждающей функции из класса .

Пусть , аппроксимирующие функцию в смысле леммы 9. Тогда очевидно, что для любого

Согласно лемме 10 для любых и

Поэтому в силу произвольности получаем

.

Таким образом, последовательность случайных величин сходится по вероятности к некоторой случайной величине, которую мы обозначим через и назовём стохастическим интегралом от функции по винеровскому процессу .

В заключение заметим, легко показать, что значение с точностью до множеств нулевой меры Р не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

§5. Существование и единственность сильных решений стохастических уравнений.

5.1. В данном параграфе мы вводим понятия стохастического дифференциального уравнения, а также устанавливаем условия разрешимости этих уравнений.

5.2. Пусть имеется стохастический базис и - винеровский процесс на нём. Через обозначим измеримое пространство непрерывных функций на со значениями в . Пусть - измеримые функции.

Определение. Будем говорить, что случайный процесс Ито является сильным решением стохастического уравнения

, (22),

если и при каждом - измерим, и Р - п. н. справедливо (22).

В дальнейшем (22) будем называть стохастическим уравнением.

Определение. Будем говорить, что стохастическое уравнение (22) имеет единственное сильное решение, если для любых его двух сильных решений , таких, что , справедливо .

5.3. Приведём, а затем и обоснуем условия существования и единственности сильных решений стохастического уравнения (22).

Теорема 12. Пусть выполняются условия:

1), – измеримые функции;

2) существует константа такая, что для любых:

i) ,

ii) ;

3) случайная величина не зависит от и .

Тогда у стохастического уравнения (22) существует единственное сильное решение для любого .

Замечание. Из условия 2) теоремы следует, что коэффициенты стохастического уравнения (22) удовлетворяют условию . Действительно, из условия 2) следует, что

Доказательство. Установим сначала единственность сильного решения стохастического уравнения (22). Пусть - два решения стохастического уравнения (22), причём. Тогда очевидно

(23)

Возьмём математическое ожидание относительно левой и правой частей неравенства (22), а затем к первому слагаемому правой части (22 применим неравенство Коши-Буняковского, имеем

(24)

Из свойств стохастических интегралов, условия 2) теоремы и теоремы Фубини, имеем из (22)

.

Отсюда, в силу леммы Гронуолла-Беллмана, следует единственность сильного решения у (22).

Установим, теперь, существование сильного решения у (22). Для этого воспользуемся методом последовательных приближений. Положим

(25).

Сначала покажем, что для любых существует константа такая, что . Действительно, из (25), в силу замечания из пункта 5.3.1, имеем

. (26) Рассмотрим . В силу (25) и условия Липшица, имеем

(27) где . Заметим теперь, что Р - п. н.

Отсюда, в силу леммы 9 и условия 2i), имеем

.

Поэтому ряд

.

Стало быть, в силу леммы Бореля-Кантелли ряд сходится Р - п. н. равномерно по t. Значит последовательность непрерывных процессов Р - п. н. равномерно сходится к непрерывному процессу . Из оценки (26) и леммы Фату следует, что

.

Покажем, что построенный процесс является решением уравнения (22). В соответствии с (25), покажем, что равномерно по t при . Из (23) и (25) имеем Р - п. н.

. (28).

Заметим, что:

i) в силу условия Липшица, Р - п. н. имеем

, (29).

ii) в силу леммы 10 и условия Липшица, имеем для любых и

. (30).

Так как , поэтому из (30) и (29) следует, что (28) стремится к 0 по вероятности при равномерно по t. Значит является сильным решением, так как из предыдущих построений следует, что оно - измеримо, где . Доказательство закончено.

5.4. Замечание. Пусть - единственное сильное решение следующего стохастического уравнения

. (31).

Из теоремы 12 следует, что существует функционал , где - пространство непрерывных функций на со значениями в (обозначаемые через, обозначаемый через такой, что Р-п. н. . Пусть - единственное сильное решение стохастического уравнения

.

Тогда очевидно следующее равенство Р-п. н. для любого

.

§6. Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений.

6.1. Теорема 13. 1) Пусть выполнены условия теоремы 12 и . Тогда существует положительная константа такая, что

.

2) Пусть выполнены условия теоремы 12 и , то существует константа К такая, что

.

Доказательство. 1) Обозначим

, .

Применим формулу Ито к, имеем

(32)

Так как для любого, имеем из (32)

(33) Из определений и следует, что ,

поэтому из (33) имеем (31)

Для оценки и воспользуемся неравенством Юнга , где , , . Рассмотрим и положим , а . Из неравенства Юнга следует Р - п. н. для любого s

.

Рассмотрим и положим , , имеем Р - п. н. для любого s

.

Поэтому неравенство (34) можно усилить, учитывая, что для каждого т существует константа такая, что

. (35)

Последнее неравенство (35) можно усилить, учитывая, что: а) ,

б) так как для , то существует константа такая, что

.

Отсюда в силу леммы Гронуолла-Беллмана, применённой к функции , имеем из (35)

.

В силу леммы Фату, из последнего неравенства, имеем

.

Первое утверждение теоремы доказано.

2) Оценим сверху, имеем в силу неравенства

Отсюда, в силу неравенства Гёльдера и свойств стохастических интегралов, имеем

В силу замечания к теореме 12 имеем Р - п. н. для

.

Поэтому последнее неравенство можно усилить

Значит существует константа такая, что

.

Воспользуемся теперь оценкой пункта 1 теоремы, в результате получим второе утверждение теоремы. Доказательство закончено.

6.2. Основываясь на втором утверждении теоремы легко установить утверждение.

Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 13 и . Тогда решение стохастического уравнения (22) является непрерывным процессом.

Доказательство этого утверждения следует из пункта 2 теоремы 13 при , которое позволяет воспользоваться теоремой 2 главы 3.