<<
>>

§1 Винеровский процесс и его свойства.

1.1. Определение. Случайный процесс , определенный на стохастическом базисе со значениями в R1 называется винеровским процессом, если он обладает следующими свойствами:

i) P- п.

н.

ii) для любого разбиения отрезка , приращения независимы в совокупности,

iii) случайные величины имеют нормальное распределение с параметрами: нулевое математическое ожидание и дисперсией , т.е. ,

iv) траектории процесса - непрерывны. Теорема 1. Винеровский процесс существует.

Доказательство теоремы опирается на два вспомогательных утверждения

1.1.1. Лемма 2. Пусть последовательность гауссовских случайных величин такая, что существует .Тогда X-гауссовская случайная величина. Доказательство. Обозначим . Тогда, в силу свойства гауссовости последовательности , имеем Пусть любые , тогда имеем Отсюда следует, что Поэтому

Значит, , так как и , при т.е.

. Доказательство закончено.

1.1.2. Лемма 3. Пусть . Пусть , , причем . Тогда справедливо равенство .

Доказательство утверждения леммы следует из формулы интегрирования по частям.

1.1.3. Доказательство (теоремы 1) Пусть - пространство измеримых квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на отрезке [0,1] со значениями в . Пусть - ортонормированное семейство функций в , т.е. , где - символ Кронекера. Обозначим . Пусть – счетное семейство независимых в совокупности стандартных нормальных случайных величин. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что ряд P- п. н. cходится для любого t и обладает свойствами i)-iv).

Пусть . Очевидно, что:

1) ;

2) , где- скалярное произведение в

;

3);

4) , где - норма в .

Обозначим . Очевидно, что:

1) для любого - гауссовская случайная величина, причем для любых n;

(1)

Отсюда следует, что - квадратично интегрируем. Рассмотрим , причем без ограничения общности можно считать, что . В силу (1), имеем

Стало быть, справедлив критерий Коши. Поэтому в среднеквадратичном смысле сходится к некоторой , т.е. для любого , причем в силу леммы 2 случайная величина имеет гауссовское распределение.

Построенный процесс обладает свойствами.

1) ;

2) Траектории- непрерывны.

Действительно, в силу леммы 3 имеем , отсюда в силу теоремы 2 главы 3 получаем утверждение.

3) (следует из леммы 2).

Осталось установить, что – процесс с независимыми приращениями. Для этого достаточно показать, что Действительно,

Доказательство закончено.

1.1.4. Замечания. 1) Рассмотрим . Отсюда следует, что для любого и ограниченного n дифференцируем по t, т.е. P- п. н. существует , причем . Очевидно, что при для любого .

2) Из неравенства Коши-Буняковского следует, что .

1.2.Теорема 4. Обозначим . Тогда относительно меры Р винеровский процесс является мартингалом.

Доказательство. Нам надо проверить: 1) ; 2) при . Заметим, что 1) следует из пункта 2) замечания 1.1.4. Осталось доказать, что , но в силу того, что имеет независимые приращения имеем .

Доказательство закончено.

1.2.1. Замечание. Очевидно, что является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

1.3. В дальнейшем нам понадобится одно свойство приращений винеровского процесса. Теорема 5. Пусть и. Пусть разбиение отрезка [s,t] такое, что , когда . Тогда . Доказательство. Сначала заметим, что в силу теоремы 1.

. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что

.

Действительно, в силу теоремы Фубини, имеем:

. (2)

Заметим, что в силу леммы 3

(3)

Значит, (2) с учетом (3) будет иметь вид:

Доказательство закончено.

1.1 Свойства винеровского процесса.

1) Пусть - винеровский процесс, не зависящий от .

(Докажите самостоятельно).

2) Свойство автомодальности: для любого процесс , является винеровским процессом. Достаточно показать, что . Действительно .

3) для любого – винеровский процесс.

Достаточно показать, что . Действительно, . 4) P – п. н. . Это утверждение следует из того, что и усиленного закона больших чисел.

5) Процесс является винеровским процессом,

6) Это равенство следует из леммы 3.

Неравенство Дуба. Для любого

(4) Доказательство. Пусть . Очевидно, что (докажите это неравенство самостоятельно). Заметим, что Поэтому (5)

Из равенства P – п. н. и неравенства Иенсена

получаем, что

Из (5) и приведенных неравенств следует неравенство Дуба.

8) Гёльдеровское свойство Леви

.

Доказательство этого утверждения проведем в два этапа: 1) сначала покажем, что P- п. н. , 2) установим неравенство

P– п. н.

1) Доказательство неравенства P – п. н. . Пусть и . Пусть имеется диадическое разбиение отрезка [0,t] точками . Тогда имеем

Обозначим . Значит, справедливо неравенство

Так как Поэтому, в силу леммы Бореля-Кантелли, имеем при

2) Установим неравенство P – п. н. . Положим . Тогда имеем

Так как , то правая часть последнего неравенства является общим членом сходящегося ряда. Следовательно, в силу леммы Бореля-Кантелли получаем утверждение.

Замечание. Из гёльдеровского свойства Леви следует, что P- п. н. траектории винеровского процесса удовлетворяют условию Гёльдера ,

где С – некоторая константа, а

1.5. В данном пункте мы покажем, что –алгебра, порожденная винеровским процессом , обладает свойством непрерывности слева и справа.

Обозначим .

Определение. Будем говорить, что фильтрация непрерывна справа (слева), если

Теорема 6.Пусть на стохастическом базисе задан одномерный винеровский процесс . Пусть - фильтрация пополнена множествами нулевой меры Р. Тогда фильтрация непрерывна справа и слева, т.е. для любого . Доказательство. Установим сначала непрерывность слева, т.е. покажем, что . Очевидно, что . Поэтому нам надо доказать, что . Заметим сначала, что числа в силу непрерывности винеровского процесса, , где r - рациональные но тогда , т.е. .

Установим теперь непрерывность справа, т.е. . Очевидно, что . Поэтому надо доказать, что . Пусть . Тогда из определения винеровского процесса следует, что .

Отсюда ясно, что если , то . Следовательно , поэтому P- п. н. (6)

Пусть . Тогда из (6) имеем P- п. н.

Устремим , имеем P- п. н.

(7)

Сравнивая (6) и (7), видим, что . Отсюда вытекает, что для любой измеримой ограниченной функции f P- п. н. справедливо равенство

. (8)

Пусть теперь и - ограниченные измеримые функции. Тогда в силу марковского свойства винеровского процесса и (8) имеем P- п. н.

Аналогичным образом устанавливается равенство P- п. н. ,

где и - любые измеримые ограниченные функции .Отсюда следует, что для любой -измеримой функции P- п. н. имеем . Беря в качестве измеримую величину, имеем P- п. н. Следовательно, - измерима. Значит,. Доказательство закончено.

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме §1 Винеровский процесс и его свойства.:

  1. §1 Винеровский процесс и его свойства.
  2. §2 Стохастические интегралы по винеровскому процессу.
  3. 2. 1. Феноменологическая теория поляризации в переменных полях