4.3. Определённый интеграл и его свойства.

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке[a,b].

Интегральная сумма , где – произвольная точка существующего отрезка.

Определенный интеграл обозначается: (6) где f(x) – подынтегральная функция, х – переменная интегрирования

Теорема. Если F(x) – первообразная для непрерывной функции , то имеет место формула: (7) Эта формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределённым интегралом.

Основные свойства определенного интеграла:

▫ При перестановке пределов изменяется знак интеграла: (8)

▫ Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: (9)

▫ Отрезок интегрирования можно разбивать на части (10)

▫ Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

▫ Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

▫ Если функция всегда на отрезке, то

(11)

▫ Если всюду на отрезке , то

(12)

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а; х=b; у=0 и частью графика функции, взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна (рисунок 1)