4.2. Методы интегрирования:

? Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду

Таблица интегралов дана в приложении

? Интегрирование подстановкой.

Существуют подстановки:

а) линейная замена аргумента t=kx+b

б) замена старшей степени переменной

в) замена, содержащая sinx или cosx

г) замена функции, если интеграл содержит и её производную (включает в себя все вышеуказанные подстановки)

? Интегрирование по частям

Теорема. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: (3)

Так как производная произведения двух функций вычисляется по формуле:

тогда проинтегрируем обе части равенства

формула интегрирования по частям

Самое трудное в интегрирование по частям – это выбрать сомножитель dv в подынтегральном выражении: интеграл в правой части формулы должен быть проще исходного. Чаще всего формула (3) применяется к интегралам вида (4) где Р(х) – многочлен, В эти интегралах u=P(x);

или к интегралам вида

(5)

где R(x) – рациональная функция, т. е. частное от деления двух многочленов. Здесь