<<
>>

§ 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям

1. Замена переменной в определённом интеграле. Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке [а,6]. Введем вместо а: новую переменную интегрирования Тогда х tp(t), где — однозначна, HeFipepbtBHa и имеет непрерывную производную на отрезке \&7J3], причём tp[ot) = а, <р{/?) = b.
Тогда определённый интеграл преобразуется по формуле

Действительно, пусть F[x) — некоторая первообразная функция

f(x) (т. е. F'(x) = f(x)), тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

!

f(x) dx — - F{a). Так как F(a:> и х =; ip{t) дифференцируемые

(имеют производные: F'(a') —/(я), dx

Учитывая, что F(rc) есть первообразная от f(x), то F"(a;) — f(x) — ~/hp(0]< Поэтому = - ^'СО' Это равенство означает,

что F|(i)] ость первообразная от функции * опреде

ление первообразной), тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Р

\f[так как по условию ip{fi) — b, tp{ot) = а. Итак, имеем одновременно

Ь 0

а

Так как правые части равны, то равны и левые. Пример 1. Вычислить интеграл /і = ^

о

Решение. Сделаем замену ? — -/Б + Ах, которая устранит иррациональность. Тогда гс — - (t2 — 5), а dx — -tdt. Для нахождения

пределов интегрирования по і из і = \/Ъ -4- находим: если х = 5, то t = 5, если х — 1, то t = 3. Таким образом получим

iJ mJ

-1^-"-™+*)—T-

Пример 2. Вычислить интегралы

dx

-г - 2)3 '

Г dx Ть _ Г

\fx

г

351

Решение, а) і — л/х t х ~ t® dx = 2 tdt; 2 ^ і ^ 3;

ч

= j _L_ зі dt = 2 ( LzitI A = 2 J t з 2 ana

= 7 + 21n2.

= 2 + j =2^ + 3 + ln2-2-2~lnl) -7 +

6) t = Vz^, я - 2 + dx — 2tdt, l^t^ \/Z\

/5

dt

Г& А Г ^ О Г Г.

і і П * 1 W *

* Г ^

Примерз. Вычислить иитеграл h = :——

соя X

г г ^ J l + sma: +

Решение. Так как подынтегральная функция есть R (sin х, соагс), то, как указывалось выше, можно применять универсальную подста-

, « т 1-і2 . 2t . 2<Й rtftP .

ноеку f — tg Тогда cos з: — sm ar — *, dx — в-; при x =

2 _ 1 + ґ I + i 1 + Г

— 0 t —О, а при ^ — ^ t — tg- — 1,

l

їтї^и+'І

__ 2d?

0

, , 2( , 1 -t2 1-і ?

flit a + Ї

Hi 1 + r

= 1п2 - In 1 = In2.

ir/3

f ві її 3? * cos «с1 Пример 4« Вычислить интеграл /4 — —-n—*-—5—

J fi CO^T + E? ЕІП ЗЇ 0

P e ш e H и е. Учитывая, что sin a; ¦ cos гvdx — - г), сделаем за-

ft і мену t = sin x. Тогда при х — 0 t = 0, при а; = л/2 t = 1 и

a3 cos2 а: -Н Ь2 sin2 а; = а.г(1 - sin2 я) -f Ь2 sin21 - а2 + (Ь2 - as) sin3 х;

1 d(b* - a*)t ¦

й2 +- (Ь^о^

dt _ 1 а1 + (Ьа - aa)f

О

(1п6а - Inа2) =

о W* - а1)

In І"2 + (Ь2 - "2)«|

352

2, Интегрирование по частям, Л усть функции и(х) и v(x) диф- ренцируемы на отрезке [a,fij. Тогда (гги)' ^ и'и 4- uvf; интегрируя почленно это ра&енство в пределах от а до Ь, получим:

ь ь ь ъ ь

| {uvYdx = = j -и * vfdx +1 u - и 'dx = j vdu + J и dv

или

r-

dv =

1iV\

и

— I v du.

*/2

Пример 5. Вычислить интеграл /д — J х sin х dx.

о

Решение. Положив х = и} sin ? da; = dv, имеем du = dx, и =

— — соз г, а

г/2

1Ь = -Х-со$х\1/2- j {-cosx)dx=-^ 0 + 0'l+smx]l/'2 ^

= - 0 = 1

я/3

xdx

Пример 6. Вычислить интеграл Iс =

він зс

я/4

Решение. Пусть u = х, ~ dv; тогда tfo = ® ¦» — ctg х;

sin X

г/3

«г/-;

= -I ¦ Ctgx J Ctgxdx - Ctg | 4 ^ ctg I -Hn|ain*1

Ж/ 4

¦ =

ТГ IT 5 . я , п 7Г

= -і^-+ї + Ьаіпз-1пзтї = - зЛ ¦ *

f9-4v/5)x З

= 3<Г Ю,51п

Отмстим, что при вычислении определённых интегралов в некоторых случаях применяются специальные приемы (см.

§55, пример 13). Примеры,

_ г in (і -І- яр .

Г

Вычислить / dx.

J 1 + х*

12 Ю-И Клименко

і ^ 1

Учитывая, что j — 7 — - In |1 4 = - In [1 + xi запишем нс-

J 1 + art х ' q х 1 1

ходный интеграл в виде:

1 1 dt

I

dt

J 1 + X2 х J 1+a?

1 + art

x dx

1 dt Г dx

-J?J

о о

(1 -f- д: }(I + 2t)

] + X

г С ~ YT®i)'

Далее вычислим интеграл

dx

= fh.2.

7 = |тт? [it4 i 1п2] =5|Ь(1 + іг) + ііп2(^Є«)

2. Продифференцировав равенство

Ь

dx 1 ь ь

J

¦ тТ~Г - - агс*? - X + а а а

по параметру а получим

ь

Or, 1 * Ь , I ^

-2а 7-3 = —5 ftrctS - Н

J (Xі + аГ а а ь2

отсюда находим

г*' '

Г dx 1 Ь

Л v л

(си. § 45, примеры 15, 27).

3. Если функция /(х,а) непрерывна вместе со своей производной а) при а < х < b к orj < а < йч, то интеграл

и

/(а) = J Я^л) dx

называется интегралом, зависящим от параметра, и является непрерывней функцией при а <х < Ь. Для него справедлива формула Лейбница (дифференцирование год знаком интеграла)

VI

А)

f{x} Ar) dx, то

или в общем случае: если /(а) =

Vi {л)

ґа = " Va(e)

С помощью этой формулы можно вычислить некоторые определённые интегралы.

е-" - е"'1

со

sin xdx (а > О, ї> >

Пример. Вычислить интеграл 3 = J

о

м г» _

>0}.

sin «л: dx j

Решение, Рассмотрим интеграл .7(ct) = [

о

который при а= 1 равен исходному. Дифференцируя интеграл J(ot) по параметру от, получим

оо

/(а) = j (е~~лх — е~Ьх)со$ах dx = (см. § 41, пример 24) =

оо

= (см. § 49) =

а3 +

— a cos ах _ .^агіл — & cos од

Ot + о

а

с*2 + аа а2 + й2 1

тогда

J(a} = I (її? - УЇ?) dos = 311116» " arctg Г =

Так как J(0) = 0, то С = 0, Таким образом, ./(а:) = arctg ^г—

Ь а а -f ab

откуда J(ck— 1) — arctg j + ^

г ха —

Пример. Вычислить интеграл J *= [ . —dx,

о

Г f Xе -ва

Р С: їй е м и е. Так KSK I ®vdy в -—] = —— , то

її

?

.1 ІПЯ! І ш х

* *

(0I + j3

ti ID

Пример, Вычислить иктеграл /= r J5?- «fa.

« 1 "І- 0,1

\ ш ' 0.1

Решение, 10

Г Jn^

J I + ^

dt.

X = 1 ft

dx — — —у (fi

Для исходного интеграла имеем уравнение J = — JT отсюда J 0.

їй

Пример. Вычислить интеграл Ja j dx.

0,1

Решение.

10

1

0,1

10

,10 _ f In.

ь j 1+ 0,1

arctRo; , / « = arctg x

dx =

я;

і

dx = [ ^ _ tfz I = In я: arctg я x

= hi 10arctg 10- In0Д arctg0,1 — In 10 arctg oo = J Ы0;

Здесь учтено, что arctg л: -f arctgy = arctg-——— к значение интеграла,

1 — ху

вычисленного в предыдущем гримере.

Пример 7. Определить среднее значение данных функций на указанных отрезках: a) f(x)=x2 нэ [0; 1];

б) Да:) = 10 +2зіг.х-і-Зсов:с на [0; 2тг];

в) + на {0; 2],

Решение. ИСХОДЕ ИЗ определения среднего значения функции (см. четвертое свойство определённого интеграла), имеем:

а) = ^ J f(x)dx = — J*^-

б) /ср = j (10 + 2 sin x + 3 cosr) dx я

* 0 і J *

- ^ (IOjc - 2co$i + 3sitiac)| = 10;

1 2 . . 1 Г 2 dx _ г dx

0J 2 J TT? ~J 1 +

dt

Сделаем замену t 14- є31; тогда du — Т^ГТ' 2 ^ і < 1 -t- e2;

1+e51

t- 1

Ь

, i+t" , , I J^fs' \ (lh-l)*=

fi2 2e2

— In + In 2 — In у ¦ 1 + e2 1 + e

Пример 8. He вычисляя интеграла, доказать справедливость ра

венства

ir/8

.J

-тг/8

Решение. Разобьём интеграл Jg — J /(х)dx на два:

— и

а У «

| /(ж) dar J f{x)dx + J/{s)-а —а О

В перзом интеграле сделаем замену переменной х™ —tr

о о А

_а а О

и, учитывая, что значение интеграла не зависит от переменной интегрирования (см. § 39). заменим t на х, т.е. j/(-t) 357

358 Интегральное исчисление і { TfliiMt

г

Тогда

a a a ti

-a 0 no

Если f{x) = — функция четная, то сумка [/(—я) 4-/{®)| =

a <1

г Л

— 2/(я?) и тогда f{x) dx ~ 2 /(x)rf^,

-ft 0

Если /(^c) — — функции нечётная, то сумма равна

о

нулю и ^ f(x) ски — 0. —it

В нашем случае Д-fc) = (-ь)10 - -i1Bsm9a; — —/(і),

функция f(x) — нечётная. Следовательно, рассматриваемый интеграл рднсн нулю.

Пример 9, Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке интегрнро-

заннп. Показать^ что

тг/2 0 | f{sh\x)dx— j /(сорт)^т- о а

Ті' 7Г

21 I a:/(sin ї) di - ^ /(sin -c) dx — я J /{sin 1) dx\ и u a

ТГ

3) ftrctg cos x dx —¦ 0. b

Решение. 1) Замена t = - — x, dx — — dt, тогда

ir/q

72 о

= - Г / (sill (I dti =

tt/2

-It/2

— f f(cost)dt| /(соє я) die.

-тт^

-w/2

тґ/З іг/2

df,

= 7Г j /(cosi)di =тг j /(sinі)

ж/2

Здесь учтено, что j tf(cost)dt — 0 (см. пример 8).

-тг/2

I xf(sinx) dx = ( ^^-di ) *)/№ (sr -1)) dt -

о *

IT г

= 7г I /(sin t} dt - JV(sint) dt.

o о

Таким образом, получаем уравнение для интеграла /

I = ji/(sini)d2; = irj/(sma) dx - Л

оте юла

it тт

= | s/(sm3T) = /(sinx) dx. о о

Итак:

= |J/(sinx)da: = 7r і f(casx)dx = тг j /(smxjdx.

о

p"

г

Вычислим интеграл .

J 1 + COS X

fr Г d(cosj;) _

I -j- cos x

= {xf(smx)dx = ? f /{sins) rfx = [ 1+ШІ J * J о

= — ^ arctg(c0s2)|* = | arctg L-H | arctg 1 = 2 ¦ ^ \ =

тг / ti — arctg OO&x, (it? — tic,

3) [arctg cosxdz =

0.

A \ 1 + СОБ Я

ff . , за

F . Г X Sin Я «5 _ я- я _ n

— X arctg COST + — 3 Ті"

° lo Jl + cosx * q

(см. предыдущий Пример).

->1 1+1

smi In -

I —> х

пркмер 10. Показать, что; 2

a) coax2 In \х 4- у/1 + х* \ dx = 0; б)

Решение. Так как

А

1 + 3TJ

1 — ас

то функции /(ж) = cos X In (я 4- \/1 + я ) и ip{x) = sin ж2 Ід ^

нечётные. Следовательно, рассматриваемые интегралы равны нулю (см, пример 8).

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям:

  1. §41. Основные методы интегрирования
  2. § 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям
  3. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)