<<
>>

§ 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям

1. Замена переменной в определённом интеграле. Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке [а,6]. Введем вместо а: новую переменную интегрирования Тогда х tp(t), где — однозначна, HeFipepbtBHa и имеет непрерывную производную на отрезке \&7J3], причём tp[ot) = а, <р{/?) = b.
Тогда определённый интеграл преобразуется по формуле
Действительно, пусть F[x) — некоторая первообразная функция
f(x) (т. е. F'(x) = f(x)), тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
!
f(x) dx — - F{a). Так как F(a:> и х =; ip{t) дифференцируемые
(имеют производные: F'(a') —/(я), dx
Учитывая, что F(rc) есть первообразная от f(x), то F"(a;) — f(x) — ~/hp(0]< Поэтому = - ^'СО' Это равенство означает,
что F|(i)] ость первообразная от функции * опреде
ление первообразной), тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Р
\f[так как по условию ip{fi) — b, tp{ot) = а. Итак, имеем одновременно
Ь 0
а
Так как правые части равны, то равны и левые. Пример 1. Вычислить интеграл /і = ^
о
Решение. Сделаем замену ? — -/Б + Ах, которая устранит иррациональность. Тогда гс — - (t2 — 5), а dx — -tdt. Для нахождения
пределов интегрирования по і из і = \/Ъ -4- находим: если х = 5, то t = 5, если х — 1, то t = 3. Таким образом получим
iJ mJ
-1^-"-™+*)—T-
Пример 2. Вычислить интегралы
dx
-г - 2)3 '
Г dx Ть _ Г
\fx
г
351
Решение, а) і — л/х t х ~ t® dx = 2 tdt; 2 ^ і ^ 3;
ч
= j _L_ зі dt = 2 ( LzitI A = 2 J t з 2 ana
= 7 + 21n2.
= 2 + j =2^ + 3 + ln2-2-2~lnl) -7 +
6) t = Vz^, я - 2 + dx — 2tdt, l^t^ \/Z\
/5
dt
Г& А Г ^ О Г Г. і і П * 1 W *
* Г ^
Примерз. Вычислить иитеграл h = :——
соя X
г г ^ J l + sma: +
Решение. Так как подынтегральная функция есть R (sin х, соагс), то, как указывалось выше, можно применять универсальную подста-
, « т 1-і2 . 2t . 2<Й rtftP .
ноеку f — tg Тогда cos з: — sm ar — *, dx — в-; при x =
2 _ 1 + ґ I + i 1 + Г
— 0 t —О, а при ^ — ^ t — tg- — 1,
l
їтї^и+'І
__ 2d?
0
, , 2( , 1 -t2 1-і ?
flit a + Ї
Hi 1 + r
= 1п2 - In 1 = In2.
ir/3
f ві її 3? * cos «с1 Пример 4« Вычислить интеграл /4 — —-n—*-—5—
J fi CO^T + E? ЕІП ЗЇ 0
P e ш e H и е. Учитывая, что sin a; ¦ cos гvdx — - г), сделаем за-
ft і мену t = sin x. Тогда при х — 0 t = 0, при а; = л/2 t = 1 и
a3 cos2 а: -Н Ь2 sin2 а; = а.г(1 - sin2 я) -f Ь2 sin21 - а2 + (Ь2 - as) sin3 х;
1 d(b* - a*)t ¦
й2 +- (Ь^о^
dt _ 1 а1 + (Ьа - aa)f
О
(1п6а - Inа2) =
о W* - а1)
In І"2 + (Ь2 - "2)«|
352
2, Интегрирование по частям, Л усть функции и(х) и v(x) диф- ренцируемы на отрезке [a,fij. Тогда (гги)' ^ и'и 4- uvf; интегрируя почленно это ра&енство в пределах от а до Ь, получим:
ь ь ь ъ ь
| {uvYdx = = j -и * vfdx +1 u - и 'dx = j vdu + J и dv
или
r-
dv =
1iV\
и
— I v du.
*/2
Пример 5.
Вычислить интеграл /д — J х sin х dx.
о
Решение. Положив х = и} sin ? da; = dv, имеем du = dx, и =
— — соз г, а
г/2
1Ь = -Х-со$х\1/2- j {-cosx)dx=-^ 0 + 0'l+smx]l/'2 ^
= - 0 = 1
я/3
xdx
Пример 6. Вычислить интеграл Iс =
він зс
я/4
Решение. Пусть u = х, ~ dv; тогда tfo = ® ¦» — ctg х;
sin X
г/3
«г/-;
= -I ¦ Ctgx J Ctgxdx - Ctg | 4 ^ ctg I -Hn|ain*1
Ж/ 4
¦ =
ТГ IT 5 . я , п 7Г
= -і^-+ї + Ьаіпз-1пзтї = - зЛ ¦ *
f9-4v/5)x З
= 3<Г Ю,51п
Отмстим, что при вычислении определённых интегралов в некоторых случаях применяются специальные приемы (см. §55, пример 13). Примеры,
_ г in (і -І- яр .
Г
Вычислить / dx.
J 1 + х*
12 Ю-И Клименко
і ^ 1
Учитывая, что j — 7 — - In |1 4 = - In [1 + xi запишем нс-
J 1 + art х ' q х 1 1
ходный интеграл в виде:
1 1 dt
I
dt
J 1 + X2 х J 1+a?
1 + art
x dx
1 dt Г dx
-J?J
о о
(1 -f- д: }(I + 2t)
] + X
г С ~ YT®i)'
Далее вычислим интеграл
dx
= fh.2.
7 = |тт? [it4 i 1п2] =5|Ь(1 + іг) + ііп2(^Є«)
2. Продифференцировав равенство
Ь
dx 1 ь ь
J
¦ тТ~Г - - агс*? - X + а а а
по параметру а получим
ь
Or, 1 * Ь , I ^
-2а 7-3 = —5 ftrctS - Н
J (Xі + аГ а а ь2
отсюда находим
г*' '
Г dx 1 Ь
Л v л
(си. § 45, примеры 15, 27).
3. Если функция /(х,а) непрерывна вместе со своей производной а) при а < х < b к orj < а < йч, то интеграл
и
/(а) = J Я^л) dx
называется интегралом, зависящим от параметра, и является непрерывней функцией при а <х < Ь. Для него справедлива формула Лейбница (дифференцирование год знаком интеграла)
VI
А)
f{x} Ar) dx, то
или в общем случае: если /(а) =
Vi {л)
ґа = " Va(e)
С помощью этой формулы можно вычислить некоторые определённые интегралы.
е-" - е"'1
со
sin xdx (а > О, ї> >
Пример. Вычислить интеграл 3 = J
о
м г» _
>0}.
sin «л: dx j
Решение, Рассмотрим интеграл .7(ct) = [
о
который при а= 1 равен исходному. Дифференцируя интеграл J(ot) по параметру от, получим
оо
/(а) = j (е~~лх — е~Ьх)со$ах dx = (см. § 41, пример 24) =
оо
= (см. § 49) =
а3 +
— a cos ах _ .^агіл — & cos од
Ot + о
а
с*2 + аа а2 + й2 1
тогда
J(a} = I (її? - УЇ?) dos = 311116» " arctg Г =
Так как J(0) = 0, то С = 0, Таким образом, ./(а:) = arctg ^г—
Ь а а -f ab
откуда J(ck— 1) — arctg j + ^
г ха —
Пример. Вычислить интеграл J *= [ . —dx,
о
Г f Xе -ва
Р С: їй е м и е. Так KSK I ®vdy в -—] = —— , то
її
?
.1 ІПЯ! І ш х
* *
(0I + j3
ti ID
Пример, Вычислить иктеграл /= r J5?- «fa.
« 1 "І- 0,1
\ ш ' 0.1
Решение, 10
Г Jn^
J I + ^
dt.

X = 1 ft
dx — — —у (fi
Для исходного интеграла имеем уравнение J = — JT отсюда J 0.
їй
Пример. Вычислить интеграл Ja j dx.
0,1
Решение.
10
1
0,1
10
,10 _ f In.
ь j 1+ 0,1
arctRo; , / « = arctg x
dx =
я;
і
dx = [ ^ _ tfz I = In я: arctg я x
= hi 10arctg 10- In0Д arctg0,1 — In 10 arctg oo = J Ы0;
Здесь учтено, что arctg л: -f arctgy = arctg-——— к значение интеграла,
1 — ху
вычисленного в предыдущем гримере.
Пример 7. Определить среднее значение данных функций на указанных отрезках: a) f(x)=x2 нэ [0; 1];
б) Да:) = 10 +2зіг.х-і-Зсов:с на [0; 2тг];
в) + на {0; 2],
Решение. ИСХОДЕ ИЗ определения среднего значения функции (см. четвертое свойство определённого интеграла), имеем:
а) = ^ J f(x)dx = — J*^-
б) /ср = j (10 + 2 sin x + 3 cosr) dx я
* 0 і J *
- ^ (IOjc - 2co$i + 3sitiac)| = 10;
1 2 . . 1 Г 2 dx _ г dx
0J 2 J TT? ~J 1 +
dt
Сделаем замену t 14- є31; тогда du — Т^ГТ' 2 ^ і < 1 -t- e2;
1+e51
t- 1
Ь
, i+t" , , I J^fs' \ (lh-l)*=
fi2 2e2
— In + In 2 — In у ¦ 1 + e2 1 + e
Пример 8. He вычисляя интеграла, доказать справедливость ра
венства
ir/8
.J
-тг/8
Решение. Разобьём интеграл Jg — J /(х)dx на два:
— и
а У «
| /(ж) dar J f{x)dx + J/{s)-а —а О
В перзом интеграле сделаем замену переменной х™ —tr
о о А
_а а О
и, учитывая, что значение интеграла не зависит от переменной интегрирования (см. § 39). заменим t на х, т.е. j/(-t) 357
358 Интегральное исчисление і { TfliiMt
г
Тогда
a a a ti
-a 0 no
Если f{x) = — функция четная, то сумка [/(—я) 4-/{®)| =
a <1
г Л
— 2/(я?) и тогда f{x) dx ~ 2 /(x)rf^,
-ft 0
Если /(^c) — — функции нечётная, то сумма равна
о
нулю и ^ f(x) ски — 0. —it
В нашем случае Д-fc) = (-ь)10 - -i1Bsm9a; — —/(і),
функция f(x) — нечётная. Следовательно, рассматриваемый интеграл рднсн нулю.
Пример 9, Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке интегрнро-
заннп. Показать^ что
тг/2 0 | f{sh\x)dx— j /(сорт)^т- о а
Ті' 7Г
21 I a:/(sin ї) di - ^ /(sin -c) dx — я J /{sin 1) dx\ и u a
ТГ
3) ftrctg cos x dx —¦ 0. b
Решение. 1) Замена t = - — x, dx — — dt, тогда
ir/q
72 о
= - Г / (sill (I dti =
tt/2
-It/2
— f f(cost)dt| /(соє я) die.
-тт^
-w/2
тґ/З іг/2
df,
= 7Г j /(cosi)di =тг j /(sinі)
ж/2
Здесь учтено, что j tf(cost)dt — 0 (см. пример 8).
-тг/2
I xf(sinx) dx = ( ^^-di ) *)/№ (sr -1)) dt -
о *
IT г
= 7г I /(sin t} dt - JV(sint) dt.
o о
Таким образом, получаем уравнение для интеграла /
I = ji/(sini)d2; = irj/(sma) dx - Л
оте юла
it тт
= | s/(sm3T) = /(sinx) dx. о о
Итак:
= |J/(sinx)da: = 7r і f(casx)dx = тг j /(smxjdx.
о
p"
г
Вычислим интеграл .
J 1 + COS X
fr Г d(cosj;) _
I -j- cos x
= {xf(smx)dx = ? f /{sins) rfx = [ 1+ШІ J * J о
= — ^ arctg(c0s2)|* = | arctg L-H | arctg 1 = 2 ¦ ^ \ =
тг / ti — arctg OO&x, (it? — tic,
3) [arctg cosxdz =
0.
A \ 1 + СОБ Я
ff . , за
F . Г X Sin Я «5 _ я- я _ n
— X arctg COST + — 3 Ті"
° lo Jl + cosx * q
(см. предыдущий Пример).
->1 1+1
smi In -
I —> х
пркмер 10. Показать, что; 2
a) coax2 In \х 4- у/1 + х* \ dx = 0; б)
Решение. Так как
А
1 + 3TJ
1 — ас
то функции /(ж) = cos X In (я 4- \/1 + я ) и ip{x) = sin ж2 Ід ^
нечётные. Следовательно, рассматриваемые интегралы равны нулю (см, пример 8).
<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям:

  1. §41. Основные методы интегрирования
  2. § 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям
  3. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)