<<
>>

§ 49. Несобственные интегралы

1. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f(x)

определена и непрерывна на интервале а ^ х < i-oo. Рассмотрим ии- R

теграл /(Л) = j f(x)dx (R ^ а) при R —+ +оо.

Интеграл /(ІЇ) при

R —+ +ос записывают

R г

+О0

I(R) = f f(x)dx= lim Г f{x) da:

J fi—*+oo J

a. a

и называют несобственным интегралом от функции f(x). Если предел ! конечный, то несобственный интеграл называют сходящимся; если же і этот предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называют расходящимся. Аналогично определяются интегралы функции f(x) от —оо до а и от —ос до -Ьоо:

Л а +оо

[ f(x) dx = lim \ }{x)dx\ \ f{x) dx — Ііш [ }{x)dx. * J J Ri—*oo J

R -OO 'ОО -Лі

— числа Тїі а Яэ стремятся к бесконечности независимо одно от другого. Если ЭТОТ Предел не существует, НО существует Предал при R\ —

то он называется главным значением несобственного интеграла,

со ,

Пример Вычислить интеграл Ij = [

j і + ха "

п -со

Решение.

Да

dx

ІІШ f - Л,—оо j ]

R2

+ x

= lim [arctg Я.2 — arctg(-

-fit /WDO

-Я01 = 2 lim arctg/г — 2 ¦ — тт.

л—юо 2,

' V т,. І49}

Несобственные интегралы

C5Q

Пример 2. Вычислить интегралы: Т2 = J е мcosbxdx- =

e~ar sin to da; (а > Ot Ь > 0).

Решение, Учитывая, что первообразные функций, найденных а §41 (пример 24). заменим а на —а и получим

г / frsinbx — acosftx /2 — 1J M — -=—-К E

Л-ПО l д2 + b2

n

її

,. b sin Rb — a cos /?Ь a — lim ——— h —

b

л-*» (ti2 + Ь2)е

)

,, ,, / —a sin to — 6 сое Ьз

Д - lim — ?—-у- е

' R^tt I CL Ь

— asiitift — frcosWt . Ь = —+

При нахождении пределов учтено, что дроби есть бесконечно малые функции, так как числители — ограниченные функции, а знаменатели неограниченно возрастают при R —» оо,

і» а?

Пример 3.

Вычислить интегралы Ig ~ j1 COS 0 0

Решение.

'г Iя

— Іітп 1 cos xdx = lim sin аг і ¦ lim йіїі R — предела не имеет, R~nx> J Ft—* оо 1С ft—00

Аналогично:

R

г Iя

Д — lim sin x dx = — lim cos я — — lim (cos R — 1; — предела * fi^oc J fi^w І0 R-tco

0

не имееТн а колеблется между 0 н 2 Следовательно, интегралы 13 и расходятся.

Пример 4. Определить, при каких значениях р интеграл |

сходится и при каких расходится. Решени е,

оо я

1) р = — = Ііш і —1 = Іітп 1пЫ J X Я-~+оо J X Лчй)

гра л расходится.

= lim 1ft ії = 00, ннте

1 Л-нсо

.]-1> і ft

2)P?41: [5- И» ІЩ- m ~Г= - — —i—1;

' 7 J Ґ ft—J Л-ЮО ] - p 11 л—ОС 1 P 1 - p]

11 L J

С

дя —1"\

ходится;

— — оо, интеграл расО. j

б) p > і, тогда 1 - р — -{3, р > О, Hm

Л = і = -i) 0 p-i'

-0

интеграл сходится,

. а 2 .

„ - п т f sm х ¦ cos х dx Пример 5. Вычислить интеграл /r = r г-— ¦> *

J (sin3 а + cost ф)

0 я

Решение. Сделаем замену ?=tgz, i = = X = — ^ t =

сю, т.е. мы преобразовали собственный интеграл в несобственный.

f , di

-a-, dx = V

1 +11 і +1

1 1 2 '2 -j, sm х =

Учитывая, что cos х = —г—^

1 + \g2 х 1-hi' получим;

*/2

v/2 oo

smv a: * cos2

—б—

сон + tg

It =

xdx _ Г tg? x dx _ [" t2 jt

;az)3 " J <*»¦«(! + tg3*)3 ~ j {Г+?І

R 0

Л д V f tVt 1 .. г d/t3 +1) 1 TI 1 — lim — - lira -P—= - - hm —

f «а;

Пример 6. Вычислить интеграл /б = —3 (a >0).

J і 4-а

_ „ О

Решение. Применяя метод неопределённых коэффициентов, разложение подынтегральной функции ищем в виде

I А Лх+С

З І з х -h а

Т

х + а х -ах+ а~

Далее приводя к общему знаменателю, получаем равенство числителей 1 = А^ - ах+ а2) + (х + +С).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем

х'

X

0=А + В,

— -аЛ + + С,

— а2 А + лС,

отсюда находим: А = 1/(За2), В — — 1/(За2), С = 2/(За).

Подставляв найденные коэффициенты в разложение и интегрируя, получаем

оо

-I

О

dx

2а ^ х

и

dx

= lim —-j Ті — оо ж

¦f

ж^ТЙ1

2 , 2 яг — ах + а

х + а

1

І :г э Ї

I av — ах + а

(я; -I- а)3 к

lim За я—оо

* —~ + VJ nrctg

ЇО

ттг

\/зЛ = 2*

rj " за VT

2. Интеграл от функций, имеющих разрыв. Пусть функция /(а:) в точке л; = Ь либо не определена, либо терпит разрыв, а а остальных точках отрезка [а,6] интегрируема. Тогда интеграл

b ir— а

/ = [ f(x) tlx =s Um f(x) dx

J л-^гО J

а а

также называется несобственным от функции /(зс). Если предел существует, то Еіесобственшісй интеграл называется сходящимся. Если этот предел бесконечен или не существует, то расходлшимсл-

Аналогично определяются несобственные интегралы» когда функция имеет разрып на конце х ~ а или и некоторой внутренней точке х = с отрезка [а, й}:

ь ь

j f(x) dx - ftlimo j f(x)dx-t

a a+a

D

j /(a

4]

\f(x)dx =

J 5

a] b

lim +o

f[x)dx +

ї4йз

— числа a\ v. Ct2 стрсмртся к нулю независимо одно от другого. Если этот предел не существует, но существует пределе при ОС 1 = Л2, то он называется главным значением несобственного интеграла,

тг/2

А

Пример 1. Вычислить интеграл J? = tg xdx.

особая точка.

Решение. Так как при а; = ^ tg^ = оо.тох = ^

Тогда (а +0)

ІІІП

tgxdx = - lim (In |cas^')jj »

= - lim

at—

In cos — aj — In cosOj = - ^J^11 sin ^ — 0) = oo, интеграл расходится.

ь ,

Г ИгГ

Пример 8, Вычислить интеграл =

J

Решение.

la = Urn

= lim 2^/і Ь = lim f~2Ja) = 2<Д. \fx п-tO+O с a—D+D V /

f dx

Пример 9. Вычислить интеграл /g = —==

Л V -

Реше ни е. При д; ~ ±1 подынтегральная функция терпит разрыв

dx

+

eta

-1

v/l -л*

rfl)

= lim arcsins

vT

= -1їт І

a-tO

i-i+ft

a—j

—l+ce

7Г"

= - lim arcsm (-1 + q) = —;

2 ' 2

/9 — ig + /g У = - T - = ТГ.

г ^^

Пример 10. Вычислить интеграл im — j —у. Решение.

- и 1 _

dx

= lim Г Щ + lim f Ц ^ lim (-1) I ° + lim (-1) ct^Q J x3 f^Oj а—О \ I/ I, e—(Л X/

-1 e

= lim (I - lU lim + A) — 00 Ч- 00 — 00,

а—0 \ce і Є'—>0 \ є/

интеграл расходится.

в

Пример 11. Вичислить интеграл /ц = J

Решение.

-'?V

Гц = lim | + lim or—*Q J ух *-*0 -І dx v 'A 1 -s— = lim - 2 + - lim хЪ —

2 e—»0

— ^ lim ?. ft—>0

Пример 12. Проверить правильность нахождения следующих несобственных интегралов.

f xe~*3dx= lim \(-\)e-x*d{-x2) = -}- lira є"1' = J J V 2/ 2 fi^oo L

0 0

= - ' lim fe-*' -1) = I 2 л-юО V J 2

7-Йг- = Ііш fe - lim J xln ® Я—J ID I ft-tm З— П

^ br

- fe ((1 -n)(in/ІГ-1 - г^й) - ^T J>-

3. Найти главное значение несобственного интеграла

» Л / Ч

f lim Г [-J--+ _!!,] dx =

J Ц- Зґ R^w j l+x7/

R

-R

= lim (arctgx + s + l2)|

JJ—v 2 J

= ^lim^ [arctgR - nretg(~fl) + ± 1л (1 f Я2) - ^ In (1 + R2)) =

— 2 Um arctga = 2 ¦ — = nr.

Д—too л

4. Г —= ^ = bm !

І я + a ft—eoj

о 0

x da:

+ a3 ft—к> J fa; + — ax + о ) 0

R

= lim f(U- + Л d*-

rt—oo J V a; + а ас - o® ¦+a / О '

„ 1 lim T f і и , * + ? Л =

3a Я^со J x + a x-ax + a*J

[ Гл. VI

366

Интегральное исчисление

r

о

= ~ 1ігґ| ( — + -Ь і 1» (х2 — ах + а2) + arctg )

1 А. /^-дЯ + а2

2ft - a аУз

+ V5 arctg

За R^ooS^ 2 Q аУз j

6 /

2гг

С

Заї/З

Здесь учтено, что коэффициенты Л, и, С удовлетворяют (см. пример б) системе уравнений А 4- В =0, -аА 4- аВ Л-С — 1, С. + аЛ — 0 и равны

5 "" ® З'

Найти главные значения следующих несобственных интегралов;

со

оо

1 4 Xі + 2х

, Г

J х(1 + а )

dx -

V * 1+ЗГЇ

-оо

л 4

= h +І2 =г о + 2тг — 2тг,

-а ,Л\

оо -ft

Л — Г = Um (

X

J Е а-Л V J

-=*» jr-oc- -л

л

— ) = lim [In \х\ Х) «-0 \

= lim (Ilia - In Я bin In а) — 0. rt—>0

оо

із = 2 "——г — 2 lim

1 + х я— оо

— I» -л

dx

-—— = 2 lim (arctgЯ - arctg(-J?}) =

1 + X fi—ЮО

- 2 lim 2 arctg л = 2 ¦ 2 ¦ - = 2тг>

ос

(і^з " ^ij ** -

G

dx 1 v

__—~ = _ iim

о

Xі - 2x - 3 4 А-*ж

a

t* , R Ц .

x-3 J x — 3 J x + 1 /

R

ЗІ

— — Ііш Піг І г — 4 \

3-й

+ їп — In І® 4

0 Із-г-ч

U—О

і lim (Ln а — In 3 Ч- In і ft — 31 - In а — In ІЯ + 11 ™h lii 1) =

fl-too

=4

In 3.

In 3 1 =

= ї/іігаоо(Іп!їЬгт

dx

Ч--

0

T^f 1 _ 1 ) =

9a:+ 20 J \x-4 i—5/

— - lim f hi a^o V І з; — 4 I 4-е

, x - A

+ In v Г+ь.|-ї 1 x — Б1 0 j -1 hs-5

M + Ck R 5-ffi

)-

С

R-4 П-5

-ln^ -bin о

1 -с

tt

a

-In

H- In

1 + a

1-а.

= — Lim f In

a-»0 s—>0 Л-»оо

1-а 1+ft

1-е 1 +?

— In - 5

1 +?

-In

\ = - lim fin / а—а ^ 1 Я — 41 1 і? - 5 1

Л-юо u -5

HaH™ интеграл /= j f^-fey "ли Де) =

Решение,

Г ГШ»

J і+/"(») J

jffe) _ 1 + /2(*0

= lim /arctg/(ic) + arctg/(я) + arctg /(х) ).

а_0 \ l-2+й

{7-.0

8

Учитывая, что arctg/(-3) - arctg0 = 0, arctg/(L) = arctg а также

lim arctg/(-2 + a) « lim aictg —^ - arctg(oo) —

of—»0

lim arctg/(-2 - a) - lim arctg - J %r — arctg^-oo) ~ ~t a—>0 <*—>0 ft [-ft т «

a(a -2}

7Г 2

lim arctg /(0 ~е) — lim. arctg ^ = arctg(-oo) =

lim arctgДО + г) = lim arctg —= ^ctg(oo) = ~

?—с—-О Є^Є -j- 2)

получим, что

Т ^ л Л" ТГ . , fl 1Т , _ 8 <-> _

1 = - 2 - 5 +atetg3 - г =arctS3

= —е

9. jn = 7E»«r* * = Г"=f • du, ns"~ ** J V с dx = шк v

о

оо

СО f

= -з^е"*

+ п хП е = 1,

О J

так как

п-1

— = 0

lim R1le~R= lim ~ - lim ^

Л—'ОО Л—»ос е Д—«оо в"

(правило Лопиталя), В итоге имеем рекуррентное соотношение Jn —

ой

= nJ^i при п * 0, е~х dx - -Й^17]^ ¦-- 1, поэтому = ті! (€! — 1).

і

оо оо

10 [ c~x*x2m41 dx = і J t~**{x )mdx2 = ^ Jm. Здесь сделана зао

мена х t.

оо

Jm .- | e"'tmdt — mJm-l — ... 'Пі! (см. предыдущий пример), по

этому

j

§ 50. Геометрическое приложение определённого интеграла

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 49. Несобственные интегралы:

  1. § 49. Несобственные интегралы
  2. Вопросы для самопроверни
  3. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  4. Содержание дисциплины
  5. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  6. Несобственные интегралы.
  7. Признак Коши. (радикальный признак)
  8. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
  9. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  10. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  11. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  12. Контрольная работа № 3
  13. Контрольная работа № 3
  14. 2.6. Вычеты функций и их применение
  15. Экзаменационные вопросы:
  16. Лекция 13 Сингулярный интеграл
  17. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
  18. Интегральный признак сходимости Коши.