Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка 
таких, что: 
называют разбиением отрезка 
.
. Мелкостью разбиения 
(читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. 
. Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех 
точки 
. Интегральной суммой функции 
на отрезке с разбиением 
будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек 
) вида: 
.
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции 
на отрезке назовём такое число 
, что 
. Обозначается: 
.
Определение 28.4: Функция 
называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на 
. Обозначается: 
.
Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: 
.
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: 
.
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: 
.
Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.