3.3 Многомасштабная стохастическая динамика 3.3.1 Уравнение Ланжевена

Уравнение Ланжевена является одной из наиболее общих аппроксимаций для широкого класса динамических систем, взаимодействующих с флуктуирующим окружением. Оно возникает при описании магнетика в присутствии флуктуаций магнитного поля, при описании гидродинамической турбулентности, при описании динамики границы раздела фаз и во многих других задачах [114, 191, 98, 189].

В наиболее общей форме уравнение Ланжевена может быть представлено как

= и\ФМ) Шф')) = D(x,x'). (3.29)

Потенциал и[ф] в уравнении Ланжевена (3.29) не зависит от времени явно; случайная сила 77(f) х) предполагается гауссовой, с нулевым средним значением (г)) = 0. Здесь и далее используются (d + 1)-мерные обозначения х = (x,t),k = (k, w).

Стандартный метод решения уравнения (3.29) заключается во введении малого параметра А при потенциале взаимодействия U, с последующим итерационным решением системы уравнений в каждом порядке теории возмущений. Усреднение по гауссовой случайной силе т) сводится к вычислению парных корреляторов (щ), а все члены содержащие нечетное число т] обращаются в нуль.

Использование дельта-коррелированной гауссовой случайной силы обусловлено как математическими, так и физическими причинами. С одной стороны, для случая гауссовой статистики все высшие моменты факторизуются, по теореме Вика, в произведения парных корреляторов; с другой стороны, гауссова случайная сила является достаточно хорошей аппроксимацией тепловых флуктуаций в системе с большим числом степеней свободы, согласуется с соотношениями вза-имности Онсагера, дает правильные соотношения между корреляционной функцией и функцией отклика (флуктуационно-диссипативная теорема) [114, 33]. С чисто математической точки зрения, важность уравнения Ланжевена обусловлена также эквивалентностью между усреднением по гауссовой случайной силе в уравнении (3.29) и фейнмановским интегрированием по путям в евклидовой теории поля (2.58), конструируемой на основе потенциала 11[ф] и коррелятора D.

Аппроксимация внешних воздействий гауссовой случайной силой конечно не покрывает все физически важные ситуации. Очень часто, как в натурных, так и

66

в численных экспериментах, появляется необходимость во введении узкополосной случайной силы, действующей в ограниченном диапазоне масштабов. Этот случай важен для возбуждения спиновых волн внешним полем, в лазерной физике, в задачах о растущей границе фаз, в теории гидродинамической турбулентности [61]. Модель узкополосной накачки необходима там, где из физических соображений можно выделить достаточно интенсивный поток энергии в систему в некотором интервале масштабов. В пределе большого числа слабо взаимодействующих степеней свободы мы, естественно, возвращаемся к аппроксимации гауссовой случайной силы. Как будет показано ниже, использование многомасштабных случайных процессов для описания узкополосной случайной силы в уравнении Ланжевена позволяет построить решение не содержащее расходимо- стей.