6.3 Коммутационные соотношения для многомасштабных полей

Для построения квантовой теории многомасштабных полей необходимо подчинить эти поля некоторым коммутационным соотношениям. Если ф(х) есть опера- торнозначная функция, то таковыми будут и ее вейвлет-коэффициенты.

ф(х) = / + (-1)" / (6.19)

Ло>0 Jk о>0 )

При этом фурье-компоненты и^(к) = и(±/с)|^0>о понимаются как операторы рождения и уничтожения квантов поля ф, несущих импульс к.

Подобным же образом можно ввести коммутационные соотношения и для масштабных компонент поля ф переносящих импульс к. Таким образом, используя (а, к) представление для вейвлет-преобразования, мы можем ввести операторы, условно называемые операторами рождения и уничтожения квантов масштаба а, переносящих импульс к:

ф(х) = jr / % [elkxua(k)+(-l)de-**ua(-k)], (6.20)

u+(fc) = иа{к)\к0>0, и~(к) = иа(-к)\ко>0. (6.21)

Коммутационные соотношения для масштабных компонент операторов должны быть введены таким образом, чтобы после интегрирования по всем масштабам воспроизводились обычные коммутационные соотношения для обычных опера-

138

торов, отвечающих плоским волнам. Так, для операторов и*(к), после интегрирования по масштабной переменной а,

«*(*) = С;1 J -^а^ФіакШ), (6.22)

должны сохраняться обычные перестановочные соотношения для п±(А;). Здесь мы считаем размерность d четной и опускаем фактор (—l)rf.

Для массивного скалярного поля с массой т и энергией кванта шк = \/к2 + т? при установлении перестановочных соотношений необходимо интегрировать лишь по массовой поверхности, используя дельта-функцию:

Разложение этого поля на положительно- и отрицательно частотную части (6.19), после подстановки дельта-функции от массовой поверхности, будет иметь вид

ф{х) = J Ietbu+(fc) + И)4^"**)]. (6-23)

при этом на операторы рождения и уничтожения квантов поля и±(А;) накладываются следующие коммутационные соотношения:

[«+(*!), и-(к2)} = (27r)d-12ukdd-1(kl - k2). (6.24)

Очевидно, что положительно- и отрицательно-частотные части поля ф могут быть разложены по масштабным компонентам с помощью непрерывного вейвлет- преобразования (6.20).

Канонические коммутационные соотношения для обычных операторов рождения и уничтожения квантов (6.24) можно обеспечить подчинив масштабные компоненты гід (к) следующим соотношениям:

К(кі),и;2(к2)} = (27Г)<*-W_1(ki - к2)Сфа{+Ч{ах - а2). (6.25)

Заметим, что коммутационные соотношения (6.25), построенные на основании принципа соответствия, по-видимому, не являются единственно возможным типом коммутационных соотношений для многомасштабных полей.