<<
>>

3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности

Выше нами представлен новый подход к описанию гидродинамической турбулентности, основанный на модификации метода стохастической гидродинамики путем применения вейвлет-преобразования как к системе уравнений Навье- Стокса, так и к случайной силе, вводимой для компенсации вязкой диссипации энергии. Несмотря на значительное число работ посвященных различным вариантам выбора случайной силы в пространстве волновых чисел (см. например [61, 56, 1] и ссылки там же), наш подход включает качественно новый элемент, не применявшийся ранее.

Этим элементом является задание случайной силы посредством корреляционной функции коэффициентов ее вейвлет-разложения. Сконструировав случайную силу в пространстве вейвлет-коэффициентов, мы получили возможность избавиться от петлевых расходимостей в стохастическом пертурбативном разложении, сохранив в то же время такие необходимые физические свойства накачки, как ввод энергии на фиксированном ИК масштабе. Таким образом предложен новый математический аппарат стохастической гидродинамики не приводящий к УФ расходимостям. Наш формализм представляет представляет собой метод вычисления статистических характеристик поля турбулентных флуктуаций, таких как корреляционная функция и функция отклика, посредством непрерывного вейвлет-преобразования. Говоря о возможных физических следствиях, таких как каскад энергии между масштабами, или зависящие от масштаба поправки к функции отклика, мы сознательно не касались связи нашего формализма с применением метода РГ [61, 62] и мультифракталь- ным формализмом [134, 29, 122]. Все эти аспекты, конечно, связаны между собой. Квантовополевое описание гидродинамической турбулентности и метод РГ естественным образом обобщают обычное описание в терминах дифференциальных уравнений путем введения вероятностной меры. Отчасти вопрос о связи вейвлет-разложения с методом РГ рассмотрен в [10], в связи с возможностью формулировки теоремы Стокса в пространстве вейвлет-коэффициентов. Кроме того, возможной точкой соприкосновения нашего метода с методом РГ является исследование асимптотических режимов изотропной турбулентности [1, 170].

Исследование гидродинамической турбулентности методами стохастических дифференциальных уравнений и квантовополевыми методами имеет по крайней мере полувековую историю. Однако, несмотря на существование феноменологически ясной теории Колмогорова (К41) [214], дискуссии о предпочтительности формализма дифференциальных уравнений, либо квантовополевого формализма, либо мультифрактального подхода продолжаются до сих пор.

101

Что касается физической интерпретации вейвлет-коэффициентов поля скорости турбулентных пульсаций, мы хотели бы подчеркнуть существование своего рода дуализма "волна-частица" в физике турбулентности, в том смысле, что ответ на некоторый вопрос о свойствах поля турбулентных пульсаций зависит от выбора системы базисных функций.

Если для исследования турбулентности было выбрано разложение по плоским волнам, то нет никаких оснований сетовать на сингулярное поведение или какие- либо парадоксы при к-*0 - что заложено, то и получено. Соответственно, если мы хотим получить аналитическое описание пространственно-протяженной тур-булентности, совместимое с феноменологией Колмогорова, необходимо выбирать такой базис, который локально различает флуктуации различных масштабов. На таком базисе и строится вейвлет-преобразование.

Преобразование Фурье нелокально и, очевидно, не удовлетворяет упомяну-тым выше требованиям, но оконное преобразование Фурье, или разложение по волновым пакетам, - в случае, если берется набор ширин, - этим требованиям удовлетворяют. По этой причине, возможно, имеется лишь техническая разница между нашим подходом и другими разложениями по локализованным волновым пакетам [228, 123]. Тем не менее, важно подчеркнуть, что включение в формализм разложения базисной функции ф, требует признать, что определение флуктуаций данного масштаба не является вполне объективным, и зависит от анализирующей функции, т.е. от способа наблюдения. Чтобы избежать этого, в значительной степени приходится ограничить рассмотрение интегральными величинами, зависящими не от формы базисного вейвлета, а лишь от его нормировки. И, как было показано выше, гипотезы подобия Колмогорова (К41) естественным образом обобщаются в предложенном нами многомасштабном формализме.

<< | >>
Источник: АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ. 2006

Еще по теме 3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности:

  1. Глава IX. Заключительные замечания
  2. 3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике 3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности
  3. 3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности
  4. Заключительные замечания
  5. 3.5. Заключительные замечания
  6. § 96. Переход к последующим главам. Заключительные замечания
  7. § 68. Заключительные замечания о философии Декарта44
  8. Логические пространства возможностей. Замечания по поводу теории измерения
  9. Заключительные замечания
  10. Заключительные замечания
  11. Заключительные замечания
  12. Заключительные замечания
  13. Заключительные замечания
  14. Заключительные замечания
  15. Заключительное замечание
  16. 16. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. РЕШАЮЩАЯ РОЛЬ ИМПРЕССИНГОВ
  17. Заключительные замечания
  18. 4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
  19. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ