Методика формирования уравнений динамики упругого манипулятора

Использованная в данной работе методика моделирования была разработана автором в Лаборатории космических машин Тохоку университета (г.Сендай) и опубликована в [284,378]. В основе математической модели лежит методика Хол­зера, разработанная для приближенного анализа крутильных колебаний гибких ва­лов, и расширенная для случая анализа изгибных колебаний упругих стержней в [318].

Легкий упругий манипулятор рассматривается как цепочка сосредоточен­ных масс, соединенных невесомыми упругими стержнями (рис.3.3,а). Сочле­нения также играют роль сосредоточенных масс. Каждое упругое легкое звено может содержать от одного и более невесомых упругих стержней, два сочлене­ния с сосредоточенными массами, а также произвольное число промежуточных сосредоточенных масс (рис.3.3,б).

Конфигурация манипулятора задается вектором присоединенных углов в

сочлененияхСчитая ближний к основанию конец ^z-τoro невесомого

стержня закрепленным, упругие перемещения другого его конца можно выра­зить через векторВектора сили моментоввозникающие на не­закрепленном конце стержня, можно получить из выражения

где- постоянная матрица жесткости упругого стержня.

Рис. 3.3. Модель упругого манипулятора: а - общий вид;

б - упругий невесомый стержень со сосредоточенными массами Уравнения кинематики гибкого манипулятора

Кинематические соотношения определяются с помощью матриц преобразо­вания координат. На рис. 3.3,6 показаны CK на концах невесомого упругого стержня wj-hoγoзвена. C закрепленным концом /-того стержня связана система координат Σ,. Со свободным концом стержня связана система координат Σ*, которая в недеформированном состоянии совпадает с Σ', полученной путем сдвига системы Σ,. на длину стержня. Если в пространстве вектор упругих пе­ремещенийсодержит 6 компонент: 3 поступательных и 3 вращательных то матрица ортогонального преобразования координат из системы координат

представляет собой произведение матриц преобразования координат при вра­щении (последовательно относительно осей x-y-z)и сдвиге координатных систем относительно друг друга. Если предположить, что φ_xi,φ_yi,φ_ziи δ_xiмалы по сравнению с единицей, тогда cos φ ≈ 1, sin φ ≈ φ {φ«1) и матрица [Е, ] может быть записана в более компактной форме:

Считая, что системы координат упругих стержней, составляющих т -ное звено манипулятора, имеют одинаковую ориентацию, матрицу преобразования, связывающую систему координат на удаленном от основания манипулятора конце с концом, более близким к основанию, можно записать в виде

где /-число упругих стержней, составляющих звено.

Матрица преобразования координат [Л_я] связывает CK на обеих сторонах сочленения п. Эти CK имеют начало в одной точке и повернуты относительно друг друга на угол поворота в сочленении, при этом поворот задается относи­тельно определенной координатной оси. Следовательно, матрица [Д,] является матрицей ортогонального поворота [89]. Используя описанные выше матрицы, можно осуществить преобразование координат точки из системы отчета, свя­занной с произвольным упругим стержнем у, в глобальную систему отчета, связанную с неподвижным основанием манипулятора. Матрицаосущест­вляющая такое преобразование, получается из следующего выражения

где N_jи Q_jсоответственно число сочленений и общее число упругих стержней в кинематической цепи от основания до упругого стержня J.

Используя приведенные выше кинематические соотношения, получим выражения, определяющие положение и ориентацию 7-той сосредоточенной массы в глобальной системе отчета, а также ее линейные и угловые скорости в той же системе отчета,

159

Уравнения движения манипулятора с упругими звеньями

Уравнения динамики в данной методике выводятся с использованием урав­нений Лагранжа второго рода [24, 37, 116, 117, 180]. Запишем выражения пол­ной кинетической Tи потенциальной энергии Vупругого манипулятора

{g} - вектор ускорения свободного падения в базовой системе координат; I_ai- момент инерции ротора /-того привода; «, р и q- число сочленений, сосредо­точенных масс и невесомых упругих стержней, соответственно; [т?_; ] - матрица инерционных характеристик сосредоточенной массы вида

где- единичная матрица,-диагональная матрица моментов инерции массы J.

Лагранжиан, вычисляемый как разность полной кинетической и потенци­альной энергии манипулятора, в данном случае имеет вид

Как это было доказано в [126], движение упругого манипулятора можно услов­но разделить на движение двух подсистем: относительно медленно движущейся жесткой подсистемы как системы шарнирно соединенных абсолютно жестких тел и относительно быстро движущейся упругой подсистемы. Движение упру­гой подсистемы представляет собой упругие колебания звеньев относительно положения жесткой подсистемы в пространстве. При таком подходе уравнения Лагранжа второго рода можно записать в следующей компактной форме

Матрицы Якоби в (4.17) можно записать следующим образом

гдеимеют физическую суть виртуального изменения положения J-

той сосредоточенной массы при виртуальных перемещениях в і-том сочленении и к - той упругой степени свободы манипулятора, соответственно, a N_jи M_j-представля­ют тобой число степеней свободы в сочленениях и упругих стержнях в кинематической цепи от 7 -той массы до основания манипулятора. Учитывая (3.25) можно записать

где-наименьший индекс сосредоточенной массы со стороны рабочего орга-

на для сочленения с индексом і,- наименьший индекс сосредоточенной массы, присоединенной со стороны рабочего органа к упругому стержню, пе­ремещения которого описываются обобщенной упругой координатой e_l.

~- ~_l

Подставляя выражения (3.26)-(3.29) в уравнения (4.23), (3.24) получим

Уравнения движения (3.31) и (3.32) можно записать в более компактной матричной форме как

дах манипулятора, п - число сочленений, т - общее число упругих координат. Уравнение (3.33) описывает относительно медленное движение упругого 162

манипулятора, условно состоящего из абсолютно жестких звеньев и при совпадает с уравнением движения недеформируемого манипу­лятора [180,223]. Однако приматрицаа также слагае­мые всвязанные свносят в уравнение движения абсолют­

но твердых звеньев инерционные и потенциальные силы, связанные с наличием упругих перемещений в системе. Влиянием указанных сил на углы, скорости и ускорения в сочленениях можно пренебречь, если приводы сочленений осна­щены редукторами с большими передаточными числами [285].

Уравнение (3.34) описывает сравнительно быстрые упругие колебательные движения звеньев манипулятора относительно положения равновесия, заданно­го положением звеньев, как абсолютно жестких тел в некоторый, бесконечно малый промежуток времени. Предполагая, что скорость упругих колебаний намного больше скорости изменения углов в сочленениях, то при составлении уравнения (3.34) для некоторого момента времени tпространственная конфи­гурация манипулятора считается условно неизменной.

Из выражений (3.31),(3.32) видно, что все матрицы и векторы в (3.33), (3.34) явля­ются нелинейными функциями обобщенных координат - присоединенных углов в со­членениях и упругих перемещений, а также их производных по времени. Полученные уравнения динамического равновесия упругого манипулятора позволяют с хорошей точностью моделировать движение манипулятора, что было показано численным мо­делированием и экспериментами в работах Uchiyama и Konno [284,378]. Несомнен­ным преимуществом вышеописанной методики по сравнению с предложенными ра­нее, являются низкие вычислительные затраты, необходимые для сборки уравнений движения, что позволяет использовать полученную модель в системах управления ре­ального времени. Низкие вычислительные затраты объясняются с одной стороны спо­собом моделирования упругой системы как системы сосредоточенных масс и невесо­мых упругих стержней, а с другой стороны тем, что простота методики позволяет вы­числить матрицы в (3.33), (3.34) аналитически.

Некоторую сложность представляет собой вычисление векторов кориоли­совых и центробежных сил, {^hι} И {h₂}, которые возникают при взаимном движении звеньев манипулятора относительно друг друга. Данные силы при­сутствуют в уравнениях (3.33), (3.34) из-за того, что уравнения движения со­ставлены в относительных координатах углов в сочленениях и упругих пере­мещений концов звеньев. В работах [284,378] предполагалось, что при умерен­ных скоростях движений манипулятора кориолисовы и центробежные силы ма­

лы и ими можно пренебречь. Автором получены выражения для вычисления векторовчто позволило более полно учесть все силы, действующие

на нелинейную упругую систему. Эти выражения приведены ниже при по­строении уравнений движения экспериментального манипулятора.

Необходимо отметить границы использования описанной методики. В работе Uchiyama и Konno [284] было показано, что частным случаем данных уравнений мо­гут быть уравнения движения манипулятора с жесткими звеньями. Однако по отно­шению к моделированию манипуляторов с деформируемыми звеньями нужно учесть, что замена звеньев цепочками сосредоточенных масс, соединенных невесо­мыми упругими стержнями не всегда может адекватно отражать истинное деформи­рованное состояние системы (например, когда масса звеньев сравнима с массой при­водов и груза). Поэтому модель может быть применена в случае манипуляторов с довольно упругими звеньями, и как следствие этого тогда, когда масса упругих звеньев незначительна по сравнению с массой приводов и груза.

3.3.