3.4.2.Экспериментальная проверка методики решения обратной задачи кинематики на пространственном упругом манипуляторе

Для проверки методики решения обратной задачи кинематики был прове­ден эксперимент по точному отслеживанию траектории на пространственном упругом экспериментальном манипуляторе FLEBOT-2.

• На основе математической модели манипулятора находится решение обрат­ной задачи кинематики для отслеживания заданной траектории. Решение по­лучается в виде временного ряда присоединенных углов в сочленениях и их скоростей для дискретных моментов времени, разделенных периодом кванто­вания системы управления.

• Вычисленные значения углов в сочленениях и их скоростей подаются на вход системы управления, которая управляет приводами упругого манипулятора. В ходе движения упругие перемещения звеньев измеряются с помощью датчи­ков, а их значения сохраняются. Истинные значения присоединенных углов в сочленениях измеряются с помощью датчиков углового положения в приво­дах, их значения также сохраняются.

• Истинное положение рабочего органа манипулятора в пространстве вычисля­ется на основе сохраненной информации об упругих перемещениях звеньев и углах в сочленениях для каждого момента времени при помощи кинематиче­ской модели упругого манипулятора. Затем для этих же моментов времени вычисляется ошибка в отслеживании заданной траектории.

Краткое описание экспериментальной установки

Экспериментальный упругий манипулятор FLEBOT-2 состоит из 2-х упру­гих звеньев и 3-х управляемых сочленений (рис.3.9).

Рис.3.9.

Упругие звенья выполнены в виде стальных прутков круглого сечения ма­лого диаметра (см. табл. 3.2). Сочленения приводятся в движение высокомо­ментными электроприводами постоянного тока, каждый из которых управляет­ся блоком управления с аппаратной обратной связью по угловой скоро­сти [185]. Для создания такой обратной связи на валах редукторов в приводах смонтированы тахометры. Также в приводах смонтированы цифровые датчики углового положения для реализации программной обратной связи по положе­нию. Моменты, развиваемые электроприводами, передаются на сочленения че­рез волновые редукторы с высоким коэффициентом передачи, что обеспечивает высокую жесткость самого сочленения звеньев и отсутствие люфта. В силу этого, податливость в сочленениях считалась пренебрежимо малой по сравне­нию с податливостью звеньев и в эксперименте не учитывалась.

Для измерения упругих деформаций звеньев манипулятора в их основании закреплены на клею пакеты тензорезистивных датчиков. Соответствующее размещение датчиков позволяет измерять упругие деформации звеньев в обоих плоскостях, перпендикулярных продольной оси прутков. Схема расположения датчиков в основании упругих прутков приведена в приложении.

Система управления состоит из четырех основных компонентов:

• Аналоговый блок управления приводами. Данный блок обеспечивает управ­ление на низком уровне по входным командным скоростным сигналам. В не­го входит цепь аппаратной обратной связи по скорости, использующая анало-

говые сигналы от тахометров. Из-за аппаратной реализации значения коэф­фициентов обратной связи по скорости фиксированы.

• Персональный компьютер. Данный персональный компьютер, с процессором NEC РС9821 - аналогом серии Intel i486, представляет собой верхний уровень системы управления и выполняет следующие функции: подготовка, обработка и хранение исходных данных; обработка и сохранение данных, полученных в хо­де эксперимента; исполнение программ, задающих управляющие команды на вход аналоговой подсистемы управления.

• Аналогово-цифровой измерительный блок. Основной функцией данного блока является сбор и преобразование информации, поступающей с располо­женных в приводах датчиков углового положения, а также с тензорезистив­ных датчиков упругих перемещений. Так как сопротивление датчиков зави­сит не только от деформаций поверхности, но и от целого ряда других факто­ров, то для их включения выбрана мостовая электрическая схема (см. прило­жение 2), позволяющая произвести точную калибровку с пульта блока непо­средственно в начале эксперимента после прогрева системы.

• Блок сопряжения. Основной функцией этого блока является сопряжение всех трех вышеперечисленных блоков в одну единую систему. Персональный компьютер, блок управления приводами и измерительный блок сопрягаются на уровне сигналов с помощью ряда аналогово-цифровых и цифро­аналоговых преобразователей.

Основные характеристики и параметры экспериментального упругого ма­нипулятора FLEBOT-2 и его звеньев приведены в табл. 3.1,3.2.

Дополнительные конструктивные параметры и схемы экспериментальной установки даны в приложении 2.

Таблица 3.1. Параметры экспериментального робота

Таблица 3.2.

Математическая модель манипулятора FLEBOT-2

Математическая модель упругого манипулятора FLEBOT-2 строилась на основе эффективной методики моделирования, рассмотренной в разделе 3.2. В силу малого веса упругих звеньев и относительно больших масс, сосредоточенных в сочленениях, приближенная методика позволяет хорошо аппроксимировать динамику манипулято-

ра. Упругие звенья манипулятора в модели представлялись в виде невесомых упругих стержней, а привод третьего сочленения и масса рабочего органа - в виде сосредото­ченных масс. Для упрощения модели моменты инерции сосредоточенных масс вокруг их центров тяжести не учитывались. Не учитывались также угловые упругие переме­щения, связанные с кручением последнего упругого звена, а изгибные угловые упру­гие перемещения вычислялись через линейные прогибы прогибов. При этом предпо­лагается, что угловые упругие перемещения много меньше единицы.

Вектор присоединенных углов в сочленениях в модели задан в виде

вектор упругих перемещений

Уравнение упругого колебательного движения манипулятора (3.32) при игно­рировании моментов инерции сосредоточенных масс упрощается и может быть теперь записано в следующем развернутом виде

где р- число сосредоточенных масс в системе.

Из уравнения (3.75) получаем выражения для вычисления матрицы инерции и вектор обобщенных сил тяжести манипулятора FLEBOT-2

Намного сложнее вычислить векторв уравнении (3.34). Этот век­

тор представляет собой обобщенный вектор центробежных и кориолисовых сил, который возникает в результате движения звеньев относительно друг дру­га. В ранее опубликованных работах по данной методике [284,378] моделиро­вания не было предложено конечных выражений для вычисления этого вектора. Поэтому в представленных в работах результатах численного моделирования 182

вектор {h₂} не учитывался - предполагалось умеренно быстрое движение. Для более полного учета всех действующих на систему сил при быстром движении были получены выражения для вычисления вектора {h₂}. Выражения для вы­числения вектора {h₁} в уравнении (3.33) могут быть получены по аналогии.

Для вывода конечного выражения для вычисления {h₂} выпишем из (3.75) входящие в него члены

Первое слагаемое на основе выражения дляI можно переписать

гдепроизводные соответствующих матриц инерции по времени

гдепроизводные соответствующих якобианов по времени.

Второе слагаемое в (3.77) также с учетом (3.15) и (3.16) запишем

При дифференцировании (3.80) учтем, что неупругий якобиан является функ­цией всех обобщенных координата упругий якобиан манипуля­тора является функцией только углов в сочленениях -Получим вы­

ражение для вычисления компонентов вектора в виде где т - общее число упругих координат манипулятора.

Производныеможно получить аналитически, производные якобиа­нов по временивычисляются численно для каждого момента вре­

мени по следующим формулам где п - число сочленений.

Из приведенных выше выражений видно, что при учете центробежных и кориолисовых сил численные затраты на сборку уравнений движения увеличи­ваются более чем в 2 раза. Тем не менее, результаты численного моделирования показывают, что эти силы значительно влияют на упругие перемещения звеньев манипулятора, и их учет в обратной задачи кинематики необходим.

Приведем выражения для вычисления параметров манипулятора FLEBOT- 2, входящих в уравнения кинематики и динамики. Введем обозначения

Положение рабочего органа вычисляется как

вектор гравитации

неупругие якобианы манипулятора

упругие якобианы манипулятора

Матрица жесткости упругого манипулятора

где и в дальнейшем приняты следующие условные обозначения

где через L_ejобозначена длина упругого прутка, а через L_ri- радиус упругого прутка соответствующего z-того звена. В выражениях (3.85) - (3,89) были при­няты следующие условные обозначения для сокращения записи

185

Выражения для вычисления матриц инерции манипулятора FLEBOT-2 (3.76), не учитывающие моменты инерции сосредоточенных масс, позволяют несколько упростить некоторые выражения в методике решения обратной зада­чи кинематики. Матрица [M_j] (3.47) вычисляется через матрицы инерции и якобианы манипулятора. Возьмем второе слагаемое из (3.47) и попробуем уп­ростить его, учитывая сделанное ранее предположение о том, что [ J₀] квадрат­ная матрица. Из чего следует

Тогда можно записать

и из (3.47) следует, что при использовании выражений (3.76) для вычисления матриц инерции

Соответственно в выражении (3.53) все члены, связанные с, аннулируют­ся, и это выражение приобретает вид

Схема и алгоритм управления приводами в ходе эксперимента

Очевидно, что для успеха эксперимента очень важное значение имеет точ­ность отслеживания приводами заданных углов и скоростей в сочленениях. От­клонения истинных координат в сочленениях от их программных значений мо­гут свести эффективность использования решения обратной задачи кинематики к нулю. Алгоритм и схема управления должны обеспечить эффективность от­слеживания программно заданных углов в сочленениях и их скоростей.

Высокие значения коэффициентов передачи волновых редукторов и боль­шие значения коэффициентов аппаратной обратной связи по скорости в систе­ме управления приводами позволяют не учитывать динамические возмущения от других приводов при управлении отдельным приводом. Для управления 186

приводами использовался следующий алгоритм с задающей управляющей ко­мандой в виде ускорения [313] связи по скорости и положению, соответственно.

C целью наиболее эффективного управления в эксперименте была также использована методика гашения вибраций рабочего органа упругого манипуля­тора, разработанная в лаборатории Космических машин и представленная в ра­боте [285]. Погрешности в численных расчетах, принятые при моделировании упрощения и приближения, а также погрешности и возмущения при управле­нии приведут к некоторой неизбежной ошибке отслеживания траектории. Все указанное выше может также привести к остаточным колебаниям рабочего ор­гана в конечной точке траектории после окончания движения. Поэтому для по­вышения эффективности управления - быстрого позиционирования и стабили­зации рабочего органа в пространстве в управляющем алгоритме была преду­смотрена возможность задания дополнительной управляющей команды за счет создания обратной связи по упругим перемещениям концов звеньев в форме обратной связи по скорости и координате упругих перемещений. Так как мат­рицы инерции зависят от присоединенных углов в сочленениях, то произведе­ниевводилось в управляющую программу в виде заранее вычис­

ленной таблицы коэффициентов.

Суммарная управляющая команда в виде ускорения формировалась как где- некоторые постоянные диагональные матрицы коэффициентов,

используемые для выбора типа управления. Во время движения рабочего орга­на манипулятора по траектории гашение вибраций рабочего органа излишне, и связанные с ним управляющие команды должны быть устранены. Напротив, в 187

конце движения, в конечной точке траектории для эффективного гашения оста­точных вибраций команды гашения вибрации должны преобладать над коман­дами отслеживания углов в сочленениях. Соответствующее изменение коэффи­циентов в матрицахв нужный момент времени как раз позволяет из­

менять подобным образом стратегию управления.

В системе управления манипулятора FLEBOT-2 входной сигнал формиру­ется в виде напряжения

где- вектор программных скоростных команд для сервопривода (в единицах

напряжения),- диагональная матрица с передаточными коэффициентами та­

хометров.- диагональная матрица с передаточными коэффициентами редук­торов. Для улучшения реакции системы управления на скоростные команды ис­пользовался опережающий фазовый компенсатор с передаточной функцией

Объединив выражения (3.95), (3.96) и (3.97), получим конечную форму для управляющего сигнала в виде напряжения

Блок-схема системы управления манипулятором FLEBOT-2 совместно с под­системой гашения колебаний рабочего органа показана на рис. 3.10.

При эксперименте были использованы следующие значения матриц коэф­фициентов обратной связи в формулах (3.93), (3.94)

Постоянные времени опережающего фазового компенсатора были выбраны 7] =0.08 с, T₂ =0.1 с.

Уравнение заданной для отслеживания траектории было задано с помощью уравнения (3.85) как траектории, которую описывает рабочий орган манипуля­тора FLEBOT-2 при отсутствии упругих перемещений в звеньях.

188

∞ ∖O

Программный блок гашения колебаний рабочего органа

Рис. 3.10. Блок-схема системы управления упругим манипулятором FLEBOT-2

где

Из формулы видно, что время собственно движения составляет одну секунду (T=I с). Общий путь, проходимый рабочим органом во время движения по ду­ге составляет 0,63 м.

Для управления движением манипулятора FLEBOT-2 была изменена его управляющая программа. Разработанная ранее программа позволяла только управление движением манипулятора по схеме «от точки к точке» в пространстве углов в сочленениях с заданным временем движения, с численной интерполяцией временной функции углов в сочленениях. В целях проведения эксперимента в управляющей программе были сделаны следующие изменения и добавления:

• Добавлены подпрограмма и массивы для считывания из файлов и хранения в памяти временных рядов значений присоединенных углов в сочленениях. Данные файлы формировались заранее и содержали временные ряды значе­ний углов в сочленениях для исходного движения и полученного C помощью методики решения обратной задачи кинематики. В файлах значения углов в сочленениях хранились последовательно для дискретных моментов времени, разделенных между собой периодом квантования системы управления ^dt.

• Заменена подпрограмма, которая непосредственно в ходе движения для каж­дого момента времени подает текущие значения углов в сочленениях на вход программного цикла управления сервоприводами. Необходимые значения уг­лов в сочленениях выбирались из соответствующих массивов.

• Добавлены и изменены служебные подпрограммы, а также функции пользова­тельского интерфейса. Управляющая программа отображает на экране входяще­го в состав системы управления компьютера интерактивное меню, с помощью которого пользователь может изменять некоторые параметры и подавать коман­ды. Сделанные изменения добавляли дополнительные пункты меню и связан­ные с ними сервисные функции, которые позволяли выбирать вид движения ма­нипулятора, давать команду на начало движения, возвращать рабочий орган в

исходную точку траектории для выполнения следующего движения, сохранять полученные экспериментальные данные в файлах на жестком диске.

Получаемые экспериментальные данные состояли из:

• Временного ряда действительных значений углов в сочленениях, измеренных угломерными датчиками в приводах.

• Временного ряда действительных упругих перемещений концов звеньев, из­меренных и вычисленных на основе деформаций тензорезистивных датчиков.

По полученным экспериментальным данным можно было судить о точности отслеживания приводами заданных углов в сочленениях, а затем, используя уравнение прямой кинематики вычислить действительное положение рабочего органа и определить траекторную ошибку.

Для более точного определения упругих перемещений концов звеньев была проведена калибровка коэффициентов усиления в измерительных контурах тензодатчиков путем принудительного изгиба звеньев на стенде с помо­щью микрометров и сравнения вычисленных программно перемещений с дей­ствительными перемещениями.

• Численная модель упругого манипулятора FLEBOT-2, а также предлагаемая, чис­ленная методика решения обратной задачи кинематики были реализованы в под­программах пакета, предназначенного для научных и инженерных расчетов и ви­зуализации - MATLAB (версия для ОС Solaris 2.2. на рабочей станции Sparc-IO).

На рис. 3.11, 3.12 представлены соответствующие компонентам вектора {e} (3.74) упругие отклонения звеньев, полученные в результате численного моделиро­вания движения экспериментального манипулятора по описанной выражением (3.99) траектории.

Рис. 3.11 Упругие перемещения концов звеньев без учета центробежных и кориолисовых сил

Рис. 3.12. Упругие перемещения концов звеньев с учетом центробежных и кориолисовых сил

На рис.3.11 показаны упругие отклонения, полученные при интегрировании численной модели, в которой не учитывались обобщенные центробежные и корио­лисовые силы - вектор {h₂}. Упругие отклонения на рис.3.11 получены с учетом этих сил, где вектор {h₂} вычислялся по формулам (3.77)-(3.81). Амплитуды упру­гих перемещений на графиках существенно различаются. Это означает, что и от­клонение рабочего органа от заданной траектории будет различным для разных мо­делей. Сравнение кривых на графиках позволяет сделать вывод об обязательности учета центробежных и кориолисовых сил в уравнениях движения упругого мани­пулятора при решении обратной задачи кинематики.

C использованием численной модели и предлагаемой численной методики было получено решение обратной задачи кинематики для заданной выражени­ем (3.99) траектории и был проведен эксперимент по отслеживанию этой же траектории на экспериментальном упругом манипуляторе FLEBOT-2. Время, затраченное на получение решения на Sparc-IO, составляло 1.6 минут. При экс­перименте были получены 3 ряда экспериментальных данных:

Измеренные углы в сочленениях и упругие перемещения, полученные в результа­те исходного движения упругого манипулятора. При этом движении на вход

системы управления подавались исходные углы в сочлененияхпо которым

определялась заданная отслеживаемая траектория движения рабочего органа

• Измеренные углы в сочленениях и упругие перемещения, полученные в ре­зультате отслеживания упругим манипулятором заданной траектории с ис­пользованием решения обратной задачи кинематики. Механизм подавления вибраций рабочего органа не задействовался - схема управления без обрат­ной связи на всех стадиях движения.

Рис. 3.13. Графики зависимости присоединенных углов в сочленениях от времени для исходного движения, решения

(в)

обратной задачи кинематики и измеренных в ходе эксперимента углов: а - O₁;б - O₂; в - O₃

• То же самое, что и в (2), но в системе управления после прихода рабочего ор­гана манипулятора в конечную точку траектории через 0.1 с была задейство­вана схема гашения вибраций рабочего органа - в конце движения включает­ся схема с обратной связью для гашения остаточных вибраций.

' Полученные при исходном движении экспериментальные данные, позволяют

определить возникающую вследствие упругости звеньев ошибку отслеживания траектории, так как при отсутствии упругости в звеньях рабочий орган манипулятора в точности отслеживал бы заданную траекторию. Назовем эту траекторную ошибку исходной. Траекторная ошибка, вычисленная по данным второго эксперимента с использованием решения обратной задачи кинематики, в сравнении с исходной ошибкой позволяют оценить эффективность предлагаемой ^t численной методики. Использование в третьем эксперименте решения обратной

задачи кинематики совместно со схемой гашения вибраций рабочего органа на завершающем этапе движения, сделано для демонстрации наиболее эффективной, с точки зрения автора, методики точного управления упругими манипуляторами.

На рис.3.13 показаны графики зависимости присоединенных углов в сочле­нениях θ_x-(а), в_г - (б), θ_i-(в) от времени для случаев: исходного движения (сплошные линии); решения обратной задачи кинематики (пунктирные линии);

¹ измеренных действительных углов в сочленениях при отслеживании углов, по­

лученных при решении обратной задачи кинематики (линии состоящие из мно­готочий). Заметное на графиках хорошее совпадение двух последних кривых свидетельствует о достаточно точном отслеживании приводами заданных про­граммно углов в сочленениях. Можно заметить несколько худшую точность от­слеживания угла θ₃в третьем сочленении, но это объясняется аппаратной по­грешностью. Датчик углового положения, установленный в приводе третьего I сочленения, обладает на порядок более грубым разрешением по сравнению с

остальными приводами (см. табл.3.1).

На рис. 3.14 отображены графики зависимости евклидовой нормы траек­торной ошибки в положении рабочего органа манипулятора {∆p} от времени для случаев: исходного движения манипулятора (сплошная линия); движения манипулятора с использованием решения обратной задачи кинематики (пунк­тирная линия); то же, но с включением механизма гашения колебаний рабочего органа через 0,1 с после прихода рабочего органа в конечную точку заданной траектории (линия из многоточий).

На рис.3.15 отображены графики зависимости упругих перемещений кон­

цов звеньев манипулятора δ_y2, δ_z2, δ_y3и δ_z3от времени. Данные перемещения измеряются относительно недеформированного положения звеньев для случа­ев: исходного движения манипулятора (сплошные линии); движения манипуля­тора с использованием решения обратной задачи кинематики (пунктирные ли­нии); то же, но с включением механизма гашения колебаний рабочего органа через 0,1 с после прихода рабочего органа в конечную точку заданной траекто­рии (линии из многоточий).

Рис.3.14. График зависимости евклидовой нормы траекторной ошибки в поло­жении рабочего органа манипулятора {∆p} от времени

Экспериментальная установка FLEBOT-2, а также два эксперимента отли­чающихся видом отслеживаемой траектории (результаты одного из которых представлены в данной главе) отсняты в видеофильм, наглядно демонстри­рующий положительные результаты экспериментов и эффективность методики решения обратной задачи кинематики упругих манипуляторов (4 кадра видео­сюжета приведены в приложении 3).

Представленные экспериментальные результаты позволяют сделать вывод, что предложенная методика решения обратной задачи кинематики действительно эф­фективна и позволяет упругим манипуляторам отслеживать траекторию более точ­но. За счет использования полученного с помощью методики решения обратной за­дачи кинематики норма траекторной ошибки была уменьшена в 3 раза (рис. 3.14). Необходимо заметить, что норма траекторной ошибки при эксперименте могла быть еще меньше, если бы привод в третьем сочленении был оснащен датчиком уг­лового положения с более высокой разрешающей способностью. Разрешающая

∖O Os

(в)

Рис, 3.15. Графики зависимости упругих перемещений концов второго (а,б) и третьего (в,г) звеньев манипулятора

FLEBOT-2: а - δ_yl; б - δ_zl; в - δ_y3; г - δ_z3

Способность этого датчика, составляющая 2048 импульсов на один оборот и соот­ветствующая точности измерения углов равной 0,175 градусов, повлияла на точ­ность отслеживания заданных углов в третьем сочленении.

Для сравнения разрешающая способность датчиков углового положения в первом и во втором сочленениях составляла 20000 импульсов на оборот, что соответствовало точности измерения равной 0.018 градусов. Этим же объясня­ется и некоторая статическая ошибка, наблюдаемая после завершения движе­ния манипулятора на рисунке 3.14.

Следует отметить, что получаемые решения обратной задачи кинематики не приводят к гашению колебаний концов упругих звеньев, что видно на рис.3.15. Напротив, упругие перемещения концов звеньев остаются почти прежними. Точ­ное отслеживание траектории достигается за счет кинематической компенсации колебаний только одного рабочего органа, в то время как каждое звено, само по себе, продолжает совершать колебательное движение. Компенсация упругих пе­ремещений рабочего органа достигается соответствующими поправками в приво­дах сочленений, вычисленными с помощью предлагаемой итеративной численной методики. При этом, в идеальном случае, рабочий орган упругого манипулятора будет двигаться подобно манипулятору с жесткой конструкцией.

Эксперимент продемонстрировал, что наиболее эффективной с точки зре­ния точности и быстроты схемой управления упругими роботами является ком­бинирование решения задачи обратной кинематики упругих манипуляторов с эффективными алгоритмами подавления колебаний рабочего органа, включае­мыми в конце движения. Развитие подобных методов управления упругими ма­нипуляторами позволит реально использовать подобные легкие, быстрые и экономичные роботы для выполнения различных операций во многих техниче­ских приложениях, где важен малый вес используемой конструкции или точ­ность выполнения операций при учете упругости звеньев.

3.5.