Методика решения обратной задачи кинематики упругого манипулятора

Пусть положение и ориентация рабочего органа гибкого манипулятора опи­сывается алгебраической функцией от его обобщенных координат (3.3). Диф­ференциальные уравнения динамического равновесия упругого манипулятора могут быть записаны в виде (3.33), (3.34) Решение обратной задачи кинематики найдем в виде некоторой алгебраической функции, обратной (3.3) вида

где-заданная траектория движения рабочего органа.

(3.35) накладываются условия непрерывности первой и второй ее производной по времени, а её решение должно удовлетворять условиям динамического рав­новесия (3.33), (3.34). Следовательно, необходимо совместно решать систему нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений (3.33), (3.34),

(3.35) . Решение подобных систем уравнений представляет собой актуальную по проблему математики [198,222,337]. В монографии Роберсона и Швертассека (Roberson, Schwertassek) [337] было отмечено, что универсального метода ре­шения таких систем уравнений еще не найдено, а существующие методы при­годны только для решения отдельных типов систем дифференциальных и ал­гебраических уравнений [222]. Поэтому решение полученной выше системы уравнений представляет собой значительную трудность.

Данную систему нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений можно несколько упростить, если принять, что рабочий орган манипулятора при от­сутствии упругих перемещений будет двигаться точно по назначенной траектории. Как следствие этого предположения будет вытекать то, что траекторная ошибка в положении рабочего органа вызвана лишь упругими перемещениями звеньев мани­пулятора. Это позволяет не учитывать уравнение (3.33) в условиях динамического равновесия, накладываемых на функцию (3.35).

Основываясь на указанных предположениях заново сформулируем постав­ленную обратную задачу кинематики. Движение звеньев манипулятора относи­тельно друг друга и глобальной системы отчета определяется кинематическими связями, имеющимися в сочленениях звеньев. Требуемое движение рабочего органа манипулятора по заданной траектории можно также задать в виде до­полнительной геометрической связи, накладывающей ограничения на положе­ние и ориентацию рабочего органа и заданной уравнением траектории.

Сделанные предположения и другая формулировка задачи позволяют пере­писать предыдущую систему нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений следующим образом

где-невязка кинематического ограничения на положение рабочего органа в пространстве (отклонение рабочего органа манипулятора от заданной траек­тории). Отсюда решение обратной задачи кинематики должно удовлетворять уравнению геометрической связи (3.36) при одновременном удовлетворении условию динамического равновесия упругого движения манипулятора (3.37).

Для совместного решения системы нелинейных уравнений (3.36), (3.37) найдем зависимостьпродифференцировав (3.36)

где матрицы |введенные в разделе 3.2., и равные

будем называть условно жестким и упругим якобианами манипулятора, соот­ветственно.

присоединенных углов в сочленениях так и упругих перемещений, то есть . _v„,. _ _zzjУпругий якобиан манипулятора является функцией только при­соединенных углов в сочленениях —

Дифференцируя (3.3) дважды по времени, получим уравнения мгновенной скорости и ускорения рабочего органа в функции обобщенных координат

На данном этапе мы предположим, что жесткий якобиан манипулятора является квадратной невырожденной матрицей. Это позволяет рассматривать упругие мани­пуляторы с числом сочленений 3 или 6, что в первом случае позволяет позициониро­вать рабочий орган манипулятора в произвольной точке пространства, а во втором случае, также произвольно ориентировать его в этой точке пространства. Поскольку многие манипуляторы с вращательными сочленениями имеют подобные кинемати­ческие схемы, то подобное предположение практически не сужает класс рассматри­ваемых манипуляционных систем. Условие невырожденности предполагает, что в данном методе не учитываются те случаи, когда заданная траектория в пространстве присоединенных углов в сочленениях не проходит через так называемые точки син­гулярности или в их окрестности. Точками сингулярности называются те точки, в которых det, а значит не существует матрица обратна;

Для решения системы нелинейных уравнений (3.36), (3.37) в настоящей ме­тодике предлагается совместно численно решать указанную систему уравнений путем интегрирования (3.37) с использованием итерационной схемы Ньютона- Рафсона для получения решения на каждом шаге.

Для вычисления производных обобщенных координат по времени

166

в конечноразностной форме выбрана формула обратной разности в виде где к- номер шага интегрирования, Δ∕- временной шаг интегрирования. Вы­бор простой формулы обратной разности для дифференцирования был продик­тован необходимостью достижения устойчивости численного метода. В на­стоящее время математиками интенсивно исследуются вопросы, связанные с методиками решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, а также устойчивость этих методик, но пока эти вопросы остаются еще не полно­стью изученными. Тем не менее, Гиром (Gear) [260] было показано, что исполь­зование формул обратной разности для интегрирования «жестких» систем дифференциальных уравнений позволяет получить устойчивые схемы интегри­рования.

Для вычисления упругих перемещений в явном виде на каждом шаге интег­рирования, выразим ускорения присоединенных углов в сочленениях через ус­корение рабочего органа на траектории через выражение (3.41) в виде

Подставив (3.44) в (3.37) получим

Для получения выражения для вычисления вектора упругих перемещений в явном виде для к -того шага интегрирования выразимв конечных разностях, используя (3.43), подставим его в (3.45) и выразим из нее где для сокращения записи приняты следующие обозначения

167

Проанализировав выражения (3.46) и (3.44) можно вывести условие, необходимое для нахождения решения обратной задачи кинематики упругого манипулятора (или необходимое условие сходимости). Для того, чтобы функции, описывающиеи {e} были непрерывны, необходимо, чтобы четвертая производная по времени функ­ции, задающей траекторию в пространстве,была непрерывной функцией.

Перед началом численного интегрирования необходимо найти начальные условия (значения) для присоединенных углов в сочленениях, компенсировав траекторную ошибку, вызванную статическим прогибом упругого манипулято­ра. Необходимость компенсации вызвана тем, что начальные значения для при­соединенных углов в сочленениях, которые обозначим как, обычно за­дают без учета упругости манипулятора. Значения угловполучаются из

решения задачи обратной кинематики жесткого аналога упругого манипулятора (т.е. считая его звенья абсолютно жесткими). Для компенсации прогиба решим систему уравнений (3.36), (3.37) в статической постановке. Подобные решения задачи обратной кинематики в квазистатической постановке предлагались в ра­ботах [363,364]. При этом ускорения и скорости углов в сочленениях и упругих координат предполагаются равными нулюТогда урав­

нение (3.37) становится статическим нелинейным уравнением равновесия

Поскольку векторявляется нелинейной функцией обобщенных координат, то для нахождения компенсирующих прогиб манипулятора начальных условий интегри­рования длянеобходимо использовать итерационную процедуру. В уравнении (3.49) верхний индекс координат в скобках обозначает номер итерации. На начальной итерации в качестве исходных значений для обобщенных координат выбираются

Определив упругие перемещения из уравнения (3.49) вычислим ошибку в по­ложении рабочего органа из уравнения (3.36). Новые значения присоединенных углов в сочленениях, компенсирующие эту ошибку вычисляются по формуле

полученной на основе выражения (3.38). Итерации повторяются до тех пор, по­ка невязкане станет достаточно малой

168

После того как решение статического анализа сошлось на і-той итерации, выбираются начальные значения присоединенных углов в сочленениях в виде

Рис. 3.4. Алгоритм метода

После этого начинается численное решение системы дифференциальных и алгеб­раических уравнений (3.36), (3.37) с итерациями по типу Ньютона-Рафсона на ка-

ждом шаге интегрирования. В процессе такого численного интегрирования нахо­дится решение обратной задачи кинематики упругого манипулятора. Схема и ос­новные шаги алгоритма численного итерационного метода изображены на схеме на рис.3.4. Подробное описание метода дано ниже в виде алгоритма. Нижний ин­декс к в описании и на схеме обозначает шаг интегрирования, верхний индекс і обозначает номер итерации на к -том шаге интегрирования.

Алгоритм численного итерационного метода

1) . В начале каждого шага интегрирования на нулевой итерации грубое началь­ное значение вектора присоединенных углов в сочленениях приближенно при­нимается по формуле аналогичной (3.50)

L

2) . Вычисляется вектор упругих перемещений {e}'используя формулу (3.46), а именно

При вычислении выражения (3.53) предполагается, что малые вариации значе­ний упругих перемещений на соседних шагах численного интегрирования при­водят к незначительным вариациям значений всех векторов и матриц, завися­щих от них. Это позволяет аппроксимировать значения матриц и векторов при вычислениииспользуя для их вычисления значения упругих перемещений с предыдущего шага. Поэтому при вычислении членов выражения (3.53) вос­пользуемся следующими их приближениями

Равенство (3.37) на шаге к выполняется приближенно за счет некоторой ошиб­ки в вычислении матриц и векторов в выражении (3.54), а также из-за ошибки формулы обратной разности (3.43).

3) . Получив вектор присоединенных углов в сочленениях {θ}'и вектор упругих перемещений звеньев манипулятора {e}^l_kна текущей z-той итерации вычисля­ем ошибку в положении рабочего органа манипулятора как невязку кинемати­ческого ограничения (3.36)

4) . Проверяется условие сходимости невязки кинематического ограничения

- минимальная допустимая ошибка,эбозначает норму вектора. Если условие не выполняется, то вектор присоединенных углов в со­членениях модифицируется по следующей формуле

и начинается новая итерация /+1 на к -том шаге интегрирования (шаги № 2 - № 4). Итерации продолжаются пока не будет найден векторпри котором будет удовлетворено условие сходимости.

5) . После того как итерации сошлись и получены удовлетворительные значения

обобщенных координатвычисляются их скорости по формуле об­

ратной разности (3.43).

6) . Шаги № 1 - № 6 повторяются на каждом шаге численного интегрирования.

Полученный в процессе численного интегрирования дискретный временной ряд значений вектора присоединенных углов в сочленениях

будет представлять собой решение задачи обратной кинематики упругого ма­нипулятора. Решение обратной задачи динамики получается на основе решения обратной задачи кинематики. Продифференцировав полученный численный ряд в конечных разностях дважды по времени можно получить ускорения углов в сочленениях. Подстановкав уравнение движения жесткой подсис­темы манипулятора (3.33) позволяет вычислить движущие моменты в приводах сочленений, которые будут обеспечивать требуемое движение рабочего ор­ганаманипулятора по заданной траектории.

Следует отметить, что полученное решение обратной задачи кинематики является приближенным в силу того, что в предлагаемой методике принимают­ся следующие аппроксимации: производные обобщенных координат по време­ни аппроксимируются конечными разностями в форме (3.43); значения компо­нент уравнения движения аппроксимируются выражениями (3.54).

Исследование устойчивости численного метода

Устойчивость метода зависит от сходимости итераций на каждом шаге ин­тегрирования. Поэтому достаточным условием сходимости метода можно по­ставить условие сходимости итераций по типу Ньютона-Рафсона к определен­номуна к -том временном шаге.

Согласно предложенной методике возможность получения на /-той итера­ции решения длязависит от достаточной обусловленности обра­

щаемой матрицы в (3.53). Это условие можно записать в виде

Учитывая выражение (3.47) по которому вычисляется^∖, выражение в скобках в (3.57) является нелинейной функцией обобщенных координат и шага численного интегрирования. Матрица [К] является симметричной, и поэтому возможный источник плохой обусловленности заключен в первом слагаемом (3.57). Величины коэффициентов матрицы жесткости обычно на несколько по­рядков больше коэффициентов матрицы [M_j],поэтому даже при плохой обу­словленностисумма матриц будет обусловлена хорошо.

Однако из выражения (3.57) можно сделать вывод, что при выборе доста­точно малого шага интегрирования ∆tоба слагаемых будут одного порядка и плохая обусловленность матрицыбудет оказывать сильное влияние на

устойчивость предложенного численного метода. Следовательно, для каждого конкретного моделируемого упругого манипулятора при использовании пред­ложенного метода существует минимальный временной шаг ∆∕_min, при кото­ром сходимость метода нарушается и который находится в прямой зависимости от податливости звеньев манипулятора и его инерционных характеристик.

Позже будет показано, что при использовании описанной в разделе 3.2. ме­тодики моделирования, матрица [m_j]аннулируется. Тем самым устраняется возможность появления плохой обусловленности матрицы (3.57). Тем не менее, 172

это также не гарантирует безусловную устойчивость метода. Чтобы подробнее исследовать устойчивость предложенного численного метода, рассмотрим не­обходимое условие его сходимости на итерациях. Итерации будут сходиться, если невязка кинематического ограничения будет стремиться к нулю

Предполагая что обобщенные координаты мало изменяются между соседними итерациями, связь между приращениями обобщенных координат и вариацией кинематического ограничения будет описываться зависимостью

Так как значения вектора упругих перемещений получаются из решения выражен­ного в конечных разностях (3.53) дифференциального уравнения, то для выявления ус­ловия ограниченностина итерациях применим условия Липшица [89,198] для проверки ограниченностиДля этого представим (3.53) в следующем виде

х

Уравнение (3.69) выражает достаточное условие сходимости численного мето­да на итерациях. Для того чтобы итерации сходились, должно выполняться ус­ловие с₀ 0, однако, существование минимального шага Δ/ > Δ ∕_minприводит к тому, что получаемое решение всегда будет приближенным. Неустойчивость при Δ / → 0, объясняется также ошибками вычислений с плавающей точкой на ЭВМ.

• Выражения (3.65), (3.66) показывают, что сходимость метода тем хуже, чем выше степень нелинейной зависимости членов уравнения упругого движения манипулятора (3.34) от присоединенных углов в сочленениях.

Необходимо отметить, что из-за сложности вычисления параметра с₀ труд­но однозначно определить допустимые границы входных параметров (траекто­рии, скорости и ускорения на траектории, временного шага Δ∕). Несмотря на это, по сделанным на основе исследования сходимости заключениям можно сделать вывод, что предложенный численный метод может успешно приме­няться для решения обратной задачи кинематики для упругих манипуляторов при некоторых ограничениях на податливость звеньев и скорость их движения по траектории. Необходимую сходимость метода можно обеспечить соответст­вующим выбором временного шага Δ/.

3.4.