Численное моделирование

В данном разделе монографии представлены результаты проверки предла­гаемой методики с помощью численного моделирования [111]. Полученные с помощью предлагаемой методики результаты сравниваются с имеющимся ана­литическим решением для линейной упругой системы.

В силу сложности рассматриваемой проблемы, до сих пор не было получе­но какого-либо аналитического решения задачи для простейшего однозвенного упругого манипулятора. Существует аналитическое решение для линейной одномассовой упругой системы с одной степенью свободы [380]. Такая упругая система изображена на рис.3.5. Положение упругой массы р определяется в виде суммы управляемой координаты х и упругого перемещения е. Привод расположен в поступательной кинематической паре.

Рис. 3.5. Одномассовая упругая система

Уравнение кинематики такой системы имеет вид

а уравнение движения линейной упругой системы вид

Уравнение отслеживаемой траектории задано функциейАналитическое решение

обратной задачи кинематики подобной линейной системы находится в следующей форме

Как уже было замечено в разделе 3.3, из выражения (3.71) вытекает условие не­прерывности во времени четвертой производной заданной траектории pj^υ(∕) по времени. Для проверки системы были выбраны следующие параметры системы: масса m= 1 кг; жесткость пружины k = 100 Н/м; Траектория была задана функцией

Для простейшей модели с указанными параметрами по предлагаемой мето­дике были получены 2 решения обратной задачи кинематики с различными временными шагами Δ/ (Δ T₁= 0,01 c., Δ∕₂= 0.001 с.). Решение, полученное с помощью данной методики, сравниваются с аналитическим решением на рис.

Видно, что при уменьшении временного шага, получаемое с помощью дан­ной методики решение стремится к аналитическому решению, а в данном слу­чае ΔZ = 0.001 с. почти совпадает с ним.

Необходимо заметить, что при данной линейной модели нет нижнего ограни­чения на величину временного шага ∆t>∆∕_min, что позволило получить близкое к аналитическому численное решение. Тем не менее, скорость сходимости быстро уменьшается при уменьшении ∆t. Для увеличения скорости сходимости в данной линейной модели может использоваться безразмерный коэффициент η_c> 1 (в рас- 176

смотренном примере η_c = 5 ÷ 40) в выражении (3.56), а именно

Приведенный небольшой пример показывает, что в линейной постановке численная методика решения обратной задачи кинематики очень эффективна и дает точное решение при Δ/ -> 0.