Постановка обратных задач кинематики и динамики упругих манипуляторов
Упругие манипуляторы являются геометрически нелинейными управляемыми механическими системами, расчетные схемы которых можно представить как совокупность упругих и абсолютно жестких тел - звеньев, соединенных между собой кинематическими парами - сочленениями.
Последнее звено манипулятора снабжено рабочим органом (схватом, инструментом), другие звенья последовательно соединены друг с другом и с неподвижным основанием. В сочленениях манипулятора располагаются управляющие приводы, состоящие из двигателей и передаточных механизмов. Характер движения определяется типом кинематической пары в сочленении. На практике наиболее распространены сочленения шарнирного типа, гораздо реже встречаются сочленения с поступательным движением звеньев относительно друг друга. Размеры звеньев и типы сочленений однозначно определяют кинематическую конфигурацию и кинематические параметры манипулятора: число степеней свободы, доступное рабочее пространство, достаточность или избыточность подвижных степеней свободы. Кинематическая конфигурация определяет зависимость положения, скорости и ускорения отельного звена манипулятора от положения, скорости и ускорения других звеньев. При разомкнутой кинематической цепи кинематика упругого манипулятора определяется двумя векторами обобщенных координат (рис.3.1) — вектором присоединенных углов в сочленениях {θ}
и вектором упругих перемещений звеньев {e}
где п - число подвижных степеней свободы (число), а к - число звеньев.
Для точного управления упругими роботами необходимы методы формирования управляющих сигналов с учетом упругих колебаний манипулятора. Данные методы должны основываться на эффективных нелинейных математических моделях упругих систем, позволяющих достаточно точно моделировать динамическую реакцию системы при минимальных вычислительных затратах.
Соблюдение указанных требований к математической модели упругих манипуляторов позволяет разрабатывать на их основе эффективные управляющие алгоритмы и включать их непосредственно в систему управления.Аналитический обзор в первой главе показал, что решение задач обратной
кинематики и динамики упругих манипуляторов является ключевым моментом для точного управления ими. При этом задача обратной кинематики играет первостепенную роль. Сформулируем задачу обратной кинематики в общем виде
для упругих манипуляторов с разомкнутой кинематической цепью.
Рис. 3.1. Степени свободы упругого манипулятора
Рис. 3.2. Кинематика упругого манипулятора
Пусть положение и ориентация в пространстве рабочего органа, расположенного на конце упругого манипулятора, в связанной с его основанием неподвижной системе координат (рис.3.2) описывается вектором 
Этот вектор однозначно определяется через обобщенные координаты: вектор присоединенных углов в сочленениях
и вектор упругих перемещений звеньев {e}, которые зависят от времени. Эту зависимость можно записать в виде некоторой нелинейной функции
Векторы
в каждый момент времени также должны удовлетворять
уравнениям динамического равновесия [284,378].
156
где
- матрицы инерции манипулятора; [с] - матрица демпфирования; [К]- матрица жесткости манипулятора;
-
обобщенные векторы центробежных, кориолисовых и гравитационных сил, действующих на упругий манипулятор; {τ} - вектор управляющих моментов, созданных приводами в сочленениях.
Все упомянутые выше матрицы и векторы в (3.4), кроме {τ}, являются нелинейными функциями векторов обобщенных координат и их производных по времени.Решение задачи обратной кинематики формально состоит в нахождении некоторой функции, которая является обратной функции (3.3) относительно {θ} и для которой должны существовать непрерывные первая и вторая производные по времени, если манипулятор находится в движении, т.е.
Одновременно сама функция (3.5) и ее производные по времени должны удовлетворять условиям динамического равновесия (3.4).
3.2.