Прямая задача кинематики

Для систематического и обобщённого подхода к описанию и представлению расположения звеньев манипулятора (исполнительных механизмов робота) относительно заданной абсолютной системы координат применяют матричную и векторную алгебру.

Звенья манипулятора могут совершать вращательное и/или поступательное движение относительно абсолютной системы координат, оси которой параллельны осям сочленений звеньев. Прямая задача кинематики сводится к определению матрицы преобразования, устанавливающей связь между абсолютной и связанной системами координат. Для описания вращательного движения связанной системы отсчёта относительно абсолютной используется матрица поворота (вращения) размерностью 3´3. Для поступательного движения используется матрица однородного преобразования размерностью 4´4.

Матрицы поворота (вращения).

Матрицу поворота размерностью 3´3 можно определить как матрицу преобразования трёхмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его из повернутой (связанной) системы отсчёта OUVW в абсолютную систему координат OXYZ. На рис.2.2 показаны две правые прямоугольные системы координат: система координат OXYZ с осями OX, OY, OZ и система OUVW с осями OU, OV, OW. Начала этих систем совпадают и расположены в точке О.

Рисунок 2.2. Абсолютная и связанная системы координат

Система OXYZ фиксирована в трёхмерном пространстве и принята за абсолютную. Система координат OUVW вращается относительно абсолютной и физически рассматривается как связанная система координат. Это означает, что она жёстко связанна с твёрдым телом (например, самолётом) и движется вместе с ним.

Пусть (ix, jy, kz) и (iu, jv, kw) – единичные векторы, направленные вдоль своей системы OXYZ и OUVW соответственно. Некоторую точку P в пространстве можно характеризовать координатами относительно любой из указанных систем:

puvw = (pu, pv, pw)T и pxyz = (px, py, pz)T (2-1)

где T - означает операцию транспонирования.

Задача состоит в том, чтобы определить матрицу R размерностью 3´3, которая преобразует координаты puvw в координаты вектора p системе OXYZ после того, как система OUVW будет повёрнута, т.е.:

pxyz = Rpuvw . (2-2)

Заметим, что физически точка p вращается вместе с системой координат OUVW.

Из определения компонент вектора имеем:

puvw = pu?iu+pv?jv+pw?kw, (2-3)

где pu, pv, и pw представляют собой составляющие вектора p вдоль осей OU, ОV, ОW соответственно, или проекции вектора p на эти оси. Используя определение скалярного произведения и равенства (2-3), получаем:

px = ix ? p = ix ? iu ? pu + ix ? jv ? pv + ix ? kw ? pw,

py = jy ? p = iy ? iu ? pu + jy ? jv ? pv + jy ? kw ? pw,

pz = kz ? p = kz ? iu ? pu + kz ? jv ? pv + kz ? kw ? pw. (2-4)

или в матричной форме:

. (2-5)

С учётом этого выражения матрица R в равенстве (2-2) примет вид:

. (2-6)

Аналогично, координаты puvw можно получить из координат pxyz:

puvw = Q ?pxyz , (2-7)

или

. (2-8)

Поскольку операция скалярного произведения коммутативна, то из соотношений (2-6)…(2-8) следует

Q = R-1 = RT, (2-9)

QR = RTR = R-1?R = I3, (2-10)

где I3 – единичная матрица размерностью 3´3.

Преобразование, определяемое формулой (2-9) или (2-10), называется ортогональным преобразованием.

Особый интерес представляет матрица поворота системы OUVW относительно каждой из трёх основных системы OXYZ. Если положение системы OUVW в пространстве изменяется за счёт поворота этой системы на угол a вокруг оси OX, то в системе отсчёта OXYZ изменяются и координаты (px, py, pz)T точки (pu, pv, pw). Соответствующая матрица преобразования Rx,a называется матрицей поворота вокруг оси OX на угол a. Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы Rx,a имеем:

pxyz = R x,a ?puvw, (2-11)

причём ix iu, и

. (2-12)

Рисунок 2.3. Вращающаяся система координат

Аналогично, трёхмерные (размерностью 3´3) матрицы поворота вокруг оси OY на угол j и вокруг оси OZ на угол q имеют соответственно вид (рис.2.3).

, . (2-13)

Матрицы Rx,a, Ry,j и Rz,q называют матрицами элементарных поворотов.