Матрицы сложных поворотов

Описание последовательности конечных поворотов относительно основных осей системы OXYZ можно получить путём перемножения матриц элементарных поворотов. Поскольку операция перемножения матриц некоммутативна, здесь существенна последовательность выполнения поворотов.

Например, матрица поворота, представляющего собой результат последовательного выполнения поворотов сначала на угол a вокруг оси OX, затем на угол q вокруг оси OZ, затем на угол j вокруг оси OY имеет вид:

R = R y,j ?R z,q ?R x,a = =

=, (2-14)

где Сj = cosj ; Sj = sinj ; Cq = cosq ; Sq = sinq ; Ca = cosa ; Sa = sina.

Она отличается от матрицы, описывающей результат поворота сначала на угол j вокруг оси OY, затем q вокруг оси OZ и, наконец, на угол a относительно оси OX. В этом случае результирующая матрица поворота имеет вид:

R = R x,a ?R z,q ? R y,j = =

=. (2-15)

Наряду с вращением относительно осей абсолютной системы координат OXYZ подвижная система отсчёта OUVW может совершать поворот вокруг собственных осей. В этом случае результирующая матрица поворота может быть получена с использованием следующих правил:

1. Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, матрица поворота представляет собой единичную матрицу размерностью 3´3.

2. Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из основных осей системы OXYZ, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота.

3. Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из своих основных осей, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить справа на соответствующую матрицу элементарного поворота.

Пример. Требуется найти матрицу поворота, являющегося результатом последовательного выполнения поворотов сначала на угол j, вокруг оси OY, затем на угол q вокруг оси OW на угол a вокруг оси OU.

Решение:

R = R y,j ? I3 ?R w,q ?R u,a = R y,j ? I3 ?R w,q ?R u,a =

= =

=.

Матрица результирующего поворота такая же, как (2-14), но последовательность поворотов отличается в последовательности, результатом которой является выражение (2-14).