Матрица поворота вокруг произвольной оси
В ряде случаев подвижная система координат OUVW может совершать поворот на угол j относительно произвольной оси r, представляющей собой единичный вектор с компонентами rx, ry и rz, выходящие из начала координат О.
Это применяется тогда, когда нужно упростить последовательность поворотов относительно основных осей систем координат OXYZ и/или OUVW. Их можно заменить одним поворотом системы OUVW вокруг оси r (рис. 3.1).Чтобы получить матрицу поворота R r,j , можно сначала произвести ряд поворотов относительно осей системы OXYZ, чтобы совместить ось r с осью OZ. Затем произвести требуемый поворот вокруг оси r на угол j и опять ряд поворотов относительно системы OXYZ, возвращающих ось OZ в исходное положение.
Рисунок 3.1. Вращение вокруг произвольной оси
Из рис. 3.1 видно, что совмещение осей OZ и r может быть реализовано с помощью поворота на угол a относительно оси OX, тогда ось r в результате окажется в плоскости XZ, а затем на угол -b, вокруг оси OY, тогда в результате оси OZ и r совпадут. После поворота на угол j относительно OZ или r проведём прежнюю операцию в обратном порядке с обратными знаками. Результирующая матрица поворота равна:
R r,j = R x,-a ? R y,b ? R z,j ? R y,-b ? R x,a =
Из этого легко определить, что:
sina = ; cosa =; sinb = rx; cosb =.
Подстановка этих равенств в предыдущее выражение дает:
, (3-1)
где Vj = vers j= 1– cosj.
Это очень полезная матрица поворота.