Скорость произвольной точки звена манипулятора
Для того, чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа-Эйлера, необходимо знать кинетическую энергию рассматриваемой физической системы, а следовательно, и скорости всех её точек.
Рассмотрим произвольную точку, неподвижную относительно i-го звена и заданную в системе координат i-го звена однородными координатами (рис. 9.2):
. (9-10)
Обозначим через координаты этой же точки относительно базовой системы координат. Матрица обозначает матрицу преобразования однородных координат, определяющую пространственное положение системы координат i-го звена относительно системы координат (i-1)-го звена, а -матрицу, определяющую связь между системой координат i-го звена и базовой системой координат.
Рисунок 9.2. Точка i-го звена
Тогда связь между и определяется соотношением:
, (9-11)
где . (9-12)
Если i-е сочленение – вращательное, то матрица имеет вид:
, (9-13)
Если i-ое сочленение – поступательное, то матрица имеет вид:
.
(9-14)В общем все ненулевые элементы матрицы являются функциями величин и , причём в зависимости от типа j-го сочленения или представляет собой присоединенную переменную этого сочленения, а остальные величины – известны (задаются конструкцией манипулятора). В выводах уравнений движения, как вращательных, так и поступательных, используется обобщённые координаты , , если i-е сочленение – вращательное и , если i-е сочленение – поступательное).
Скорость точки относительно базовой системы координат (при ):
. (9-15)
Частные произведение матрицы по переменным легко вычисляется с помощью матрицы , которая для вращательного сочленения имеет вид:
, (9-16а)
а для поступательного сочленения:
. (9-16б)
Используя эту матрицу, можно написать:
. (9-17)
Например, для манипулятора с вращательными сочленениями .
Используя равенство (9-13), имеем:
Таким образом, для
(9-18)
По смыслу равенство (9-18) описывает изменение положения точек i-го звена, вызванное движением в j-м сочленении манипулятора. Для упрощения формул введём обозначение , с учетом которого равенство (9-18) можно представить для :
(9-19)
Используя введённое обозначение, формулу для можно записать в форме:
. (9-20)
Определяем величину, характеризующую эффект взаимодействия сочленений:
(9-21)
Например, для манипулятора вращательными сочленениями при и имеем:
.