Кинематическая энергия манипулятора
Зная скорость произвольной точки каждого звена манипулятора, найдём кинетическую энергию i-го звена.
Обозначим через кинетическую энергию i-го звена (i=1, 2, …, n).
Пусть кинетическую энергию элемента массы dm i-го звена. Тогда:. (10-1)
Здесь вместо скалярного произведения используется оператор (след матрицы ), что в дальнейшем позволит перейти к матрице инерции i-го звена.
Подставляя в выражение (10-1) значение из равенства (9-20), получим выражение для кинетической энергии элемента массой dm:
(10-2)
Матрица характеризует положение точки i-го звена относительно базовой системы координат, обусловленное изменением координаты .
Данная матрица одинакова для всех точек i-го звена и не зависит от распределения массы в этом звене, также как и . Таким образом:
. (10-3)
Интегральный член в скобках представляет собой матрицу инерции i-го звена:
. (10-4)
Преобразуя выражения, получим:
, (10-5)
где однородные координаты центра масс i-го звена в i-й системе координат;
- тензор инерции, где i, j, k принимают значения xi, yi, zi (оси i-ой системы координат), а - символ Кроникера.
Формулу (6-26) можно также записать в виде:
. (10-6)
Здесь и j, k=1, 2, 3, а - радиус вектор центра масс i-го звена в системе координат i-го звена. Таким образом, полная кинетическая энергия манипулятора равна:
. (10-7)
Отметим, что величина Ji (i=1, 2,…, n) зависит только от распределения массы i-го звена в i-й системе координат и не зависит ни от положения, ни от скорости звеньев. Это позволяет однажды вычислив матрицу Ji, использовать полученное значение в дальнейшем для вычисления кинетической энергии манипулятора.