Рекуррентные уравнения динамики манипулятора

[Рекурретный (recurrens) – возвращающийся]. Рекуррентные уравнения – уравнения приведения, сводящие вычисления n-го члена последовательности к вычислению нескольких предыдущих ее членов.

Основываясь на полученных выше кинематических соотношениях, воспользуемся принципом Д'Аламбера для вывода уравнений динамики движения манипулятора. Принцип Д'Аламбера позволяет применить известные условия статического равновесия к задачам динамики за счет рассмотрения (наряду с внешними действующими на механическую систему силами) сил инерции, препятствующих движению. Принцип Д'Аламбера выполняется для механической системы в любой момент времени. По сути это несколько модифицированный второй закон Ньютона, формулируемый следующим образом:

«Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действующих на тело в любом направлении, равна нулю».

Рассмотрим i-е звено (рис. 8.1). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. 11.4 и 13.1, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат):

Рисунок 13.1. Силы и моменты, действующие на i-е звено

- масса i-го звена;

- положение центра масс i-го звена в базовой системе координат;

- положение центра масс i-го звена относительно начала

системы координат ;

- положение начала i-й системы координат относительно

начала -й системы координат;

- линейная скорость центра масс i-го звена;

- линейное ускорение центра масс i-го звена;

-суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс

i-го звена;

-суммарный момент внешних сил, приложенных к i-му

звену;

- матрица инерции i-го звена относительно его центра

масс в базовой системе координат;

- сила, с которой -е звено действует на i-е звено в

системе координат ;

- момент, вызванный действием -го звена на i-е

звено в системе координат .

Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип Д'Аламбера к i-му звену, получаем:

, (13-1)

. (13-2)

Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение центра масс i-го звена в соответствии с равенствами (12-32) и (12-35) определяются выражениями:

, (13-3)

. (13-4)

Суммарная сила и момент , приложенные к i-му звену, обусловлены действием на него силы тяжести, а также сил со стороны соседних -го и -го звеньев. Таким образом:

, (13-5)

(13-6)

Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, воспользовавшись тем, что:

, (13-7)

. (13-8)

Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно воспользоваться для вычисления сил и моментов , действующих на звенья n-звенного манипулятора. Для этого достаточно учесть, что и представляют собой соответственно силу и момент, с которыми объект манипулирования действует на схват манипулятора.

, (13-9)

где - коэффициент вязкого трения в i-м сочленении.

Если основание манипулятора закреплено на платформе и 0-е звено неподвижно, то , , и с учетом силы тяжести:

, где . (13-10)

Таким образом, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора:

1. удобная для анализа, но неэффективная в вычислительном плане форма Лагранжа-Эйлера;

2. эффективная с вычислительной точки зрения, но малопригодной для анализа форма Ньютона-Эйлера;

3. достаточно удобные для анализа при умеренных вычислительных затратах обобщенные уравнения Д'Аламбера.