Рекуррентные уравнения динамики манипулятора
[Рекурретный (recurrens) – возвращающийся]. Рекуррентные уравнения – уравнения приведения, сводящие вычисления n-го члена последовательности к вычислению нескольких предыдущих ее членов.
Основываясь на полученных выше кинематических соотношениях, воспользуемся принципом Д'Аламбера для вывода уравнений динамики движения манипулятора. Принцип Д'Аламбера позволяет применить известные условия статического равновесия к задачам динамики за счет рассмотрения (наряду с внешними действующими на механическую систему силами) сил инерции, препятствующих движению. Принцип Д'Аламбера выполняется для механической системы в любой момент времени. По сути это несколько модифицированный второй закон Ньютона, формулируемый следующим образом:
«Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действующих на тело в любом направлении, равна нулю».
Рассмотрим i-е звено (рис. 8.1). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. 11.4 и 13.1, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат):
Рисунок 13.1. Силы и моменты, действующие на i-е звено
- масса i-го звена;
- положение центра масс i-го звена в базовой системе координат;
- положение центра масс i-го звена относительно начала
системы координат 
;
- положение начала i-й системы координат относительно
начала 
-й системы координат;
- линейная скорость центра масс i-го звена;
- линейное ускорение центра масс i-го звена;
-суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс
i-го звена;
-суммарный момент внешних сил, приложенных к i-му
звену;
- матрица инерции i-го звена относительно его центра
масс в базовой системе координат
;
- сила, с которой -е звено действует на i-е звено в
системе координат 
;
- момент, вызванный действием -го звена на i-е
звено в системе координат .
Пренебрегая силами трения в сочленениях, применив принцип Д'Аламбера к i-му звену, получаем:
, (13-1)
. (13-2)
Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение центра масс i-го звена в соответствии с равенствами (12-32) и (12-35) определяются выражениями:
, (13-3)
. (13-4)
Суммарная сила 
и момент 
, приложенные к i-му звену, обусловлены действием на него силы тяжести, а также сил со стороны соседних 
-го и 
-го звеньев. Таким образом:
, (13-5)
(13-6)
Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, воспользовавшись тем, что:
, (13-7)
. (13-8)
Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно воспользоваться для вычисления сил и моментов 
, действующих на звенья n-звенного манипулятора. Для этого достаточно учесть, что 
и 
представляют собой соответственно силу и момент, с которыми объект манипулирования действует на схват манипулятора.
на ось 
и момента вязкого трения в i-м сочленении (если сочленение – вращательное). Если же i-е сочленение – поступательное, оно реализует смещение на 
единиц длины относительно системы координат 
вдоль оси 
. В этом случае сила 
, создаваемая в этом сочленении, должна быть равна в системе координат сумме проекции силы 
на ось и силы вязкого трения. Таким образом, момент (сила) , создаваемый приводом i-го сочленения, определяется формулой: 
, (13-9)
где 
- коэффициент вязкого трения в i-м сочленении.
Если основание манипулятора закреплено на платформе и 0-е звено неподвижно, то 
, 
, и с учетом силы тяжести:
, где 
. (13-10)
Таким образом, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора:
1. удобная для анализа, но неэффективная в вычислительном плане форма Лагранжа-Эйлера;
2. эффективная с вычислительной точки зрения, но малопригодной для анализа форма Ньютона-Эйлера;
3. достаточно удобные для анализа при умеренных вычислительных затратах обобщенные уравнения Д'Аламбера.