Скорость точки
Проще всего определить скорость, имеющую по обыкновению смысл направления и величины, когда точка движется прямолинейно и равномерно, не суетясь и не рыская, так сказать. В этом простейшем случае нужно величину пути поделить на время этого путешествия и получить значение скорости
= S т ’
м
с
Вопрос с направлением вектора скорости тоже решается запросто, потому что вариантов нет.
Вектор скорости будет направлен в сторону движения. Если точка движется по криволинейной траектории, то скорость нельзя считать постоянной, потому что, даже, если модуль скорости сохраняет своё значение за всё время движения, то направление вектора скорости изменяется (рис. 1.10).
Представим некоторую точку, совершающую криволинейное движение по произвольной криволинейной траектории АВ.
В некоторый момент времени точка занимает положение М, определяемое радиус- вектором ~г. В момент времени ti = t + At, т.е. через промежуток времени At, исследуемая точка перемещается в положение М1, характеризуемое радиус-вектором ~г- Вектор Air представляет собой перемещение за промежуток времени At = (t1 - t).
Отношение вектора перемещения точки к величине промежутка времени, за которое совершается это перемещение, называется вектором средней скорости за данный промежуток времени
_ Ar Г м Ар = —, —
At _ с
Как видно из уравнения значение вектора средней скорости за промежуток времени At будет зависеть от величины этого промежутка времени. Естественно предположить, что чем меньше будет величина At, тем адекватнее вектор средней скорости будет характеризовать изменение вектора перемещения за единицу времени в течение промежутка At.
При движении точки по двум последовательным одинаковым участкам с соответствующими скоростями v1 и v2 средняя скорость определяется как
= s = s = 2v1v2
ср t1 +12 0,5s + 0,5s v1 + v2
v1 v2
Когда половину всего времени точка движется со скоростью v1 , а вторую половину времени со скоростью v2, то средняя скорость определяется как
= s1 + s2 = v1 - 0,5t + v2 - 0,5t = v1 + v2
v ср = t = t = 2 .
v = lim(v„)= lim Ar = ® . r,
At^A ср/ At^0 At dt
Предел, к которому стремится вектор средней скорости, при At ж 0 называется вектором мгновенной скорости или вектором скорости в данный момент. При анализе движения часто мгновенную скорость называют просто - скоростью. Математически процесс определения мгновенной скорости представляется следующим образом
м с
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора этой точки по времени. Исходя из геометрического смысла производной, вектор скорости направлен всегда по касательной к траектории в данной точке в сторону движения.
Вектор средней скорости, как видно из рис. 1.10 совпадает по направлению с хордой ММ1. При At ж 0 точка М1 перемещается в сторону М, так что хорда трансформируется в касательную.
Следует иметь в виду, что
dr ф djr|.
dt dt
Так, например, если точка движется по круговой траектории, то модуль её радиус-вектора остаётся постоянным во всё время движения (рис. 1.9), в то время как направление радиус-вектора меняется, т.е.
-dr
v = Ф 0.
dt
Если уравнения движения точки заданы в координатной форме, то радиус- вектор точки будет связан со своими проекциями следующим уравнением
r = xi + yj + zk ,
где , /j, k} единичные векторы, направление которых совпадает с осями координат (рис. 1.10), а их модуль равен единице измерения соответствующей величины, в данном случае они измеряются в метрах.
Проекции вектора мгновенной скорости определяться уравнениями:
dx dy dz
vx = — . x, vy = — . y, vz = — . z .
dt dt dt
Вектор мгновенной скорости представится следующим образом:
- - - - dx - dy - dz-
v = vxi + vyj + vzk . — і + — j +— k x y z dt dt dt