Кинематические характеристики движения

В кинематике изучают движение без учёта причин его вызывающих, т.е. силы, приводящие те или иные объекты в состояние взаимного перемещения, не рассматриваются.

Рис.

Как будет показано ниже, говорить о движении, как таковом имеет смысл только при выборе соответствующей системе отсчёта. Под системой отсчёта понимается привязка движения в пространстве и во времени. Практически, для исследования движения необходима система координат и измеритель времени (рис. 1.2).

В кинематике такой выбор диктуется исключительно удобством пользования. При рассмотрении движения объектов вблизи земной поверхности, естественно выбрать систему отсчёта связанную с Землёй, считая её условно неподвижной, почти по Аристотелю. Если анализировать Землю, как движущийся объект, то систему отсчёта целесообразно связать с Солнцем, т.е. по Копернику. Все системы отсчёта в кинематике, в отличие от динамики, эквивалентны.

Самым простым движущимся объектом является материальная точка. Строго говоря, это некий абстрактный элемент, своеобразная физическая или геометрическая модель.

Материальная точка это некое тело, геометрическими размерами которого в условиях данного движения без ущерба для анализа можно пренебречь. Формально представить себе объект, не имеющий геометрических размеров, но обладающий массой довольно сложно.

Всякая масса ассоциируется с занимаемым ей объёмом. На самом деле существует целый набор кинематических и динамических задач, в которых макроскопическое тело можно полагать геометрической точкой, в которой сосредоточена вся наличная масса.

При решении вопроса о том, можно ли данное тело считать точкой, физические и иные свойства самого тела не имеют никакого значения, важны только параметры движения.

Так, в ряде частных случаев, например, при рассмотрении прямолинейного движения по океанским просторам, огромное морское судно можно принять за точку, на основании того, что его размеры гораздо меньше размеров Земли (R = 6400 км). С другой стороны «закрученный» футбольный мяч, обладающий собственным вращением, точкой считать нельзя.

Введение понятия материальной точки, т.е. идеализация задачи движения, существенно упрощает процесс анализа, позволяя получать законы классической механики в наиболее простом виде.

Классическая механика рассматривает движения макроскопических тел, происходящие со скоростями гораздо меньшими скорости света (с = 3 • 108 м/с).

Даже повседневная жизнь, не говоря уже о профессиональных и образовательных занятиях, требует постоянного оперирования всякого рода числами. Практически на подсознательном уровне, числа представляются нам килограммами, секундами, миллиметрами ртутного столба, литрами, денежными единицами, оборотами в минуту и. т.д.

Без этого, обсуждая прошедшие, настоящие или предстоящие события никак не обойтись. Без количественных оценок в соответствующих единицах измерения события теряют всякий смысл.

Движение не является исключением. Для исследования его закономерностей требуются специальные единицы измерения, которые, кстати, в общих чертах, всем хорошо известны.

Ни для кого не секрет, например, что вся наша жизнь протекает в пространстве и времени. Эти физические, а во многом и философские понятия, несмотря на общеизвестность, не так просты, как кажутся на первый не просвещенный взгляд.

Учёные выяснили, что пространственно временные физические категории весьма далеки от полного их осознания. Так, например, до настоящего времени не утихают дискуссии о трёх мерности нашего пространства и возможности изменения направления течения времени. Но в простейших случаях анализа механических движений нам будет вполне достаточно установить ограниченное количество характеристик пространства и времени.

Приведём далее сведения, касающиеся единиц измерения физических величин, встречающмхся при рассмотрении механического движения наиболее часто.

Длина. Это понятие можно истолковать чисто геометрически, представив, как расстояние между двумя выбранными точками. В прошлые времена длины измеряли шагами, в локтях, в пядях, в ярдах, мерными шестами и прочими экзотическими с позиций теперешнего времени единицами и инструментами.

Сейчас большинство представителей просвещенного человечества предпочитают метрическую систему мер, которая была внедрена во Франции в 1801 г., в частности и стараниями Наполеона, который, со свойственной ему настойчивостью, распространял её на все завоёванные территории.

А поскольку, за малым исключением, все европейские государства были «осчастливлены» присутствием французов, то метрическая система мер быстро получила распространение и признательность. Единица длины была определена, как десятимиллионная часть длины меридиана, проходящего, естественно, через Париж, от экватора до Северного полюса.

Эталон был грандиозен, но крайне непрактичен, можно сказать - эфемерен. В 1889 г. эталон «приземлили». На платиноиридиевом бруске, находящимся при нормальных условиях (температура 0 0С, давление 750 мм ртутного столба) нанесли две параллельные метки, расстояние между которыми соответствовало меридиональным вычислениям. Это стал эталон метра.

Каждая уважающая себя держава имеет сейчас номерные вторичные эталоны длины, которые вправе использовать при организации своих метрологических систем, например, для того чтобы выпускать «правдивые» рулетки и линейки.

Современными измерительными средствами, с использованием прецизионного микроскопа, сравнение длин можно произвести с точностью порядка (2 - 5)-10 - м. Для некоторых научных и астронавигационных целей такой точности оказалось недостаточно, поэтому в качестве эталона стали использовать не металлический брусок, а длину волны, которую излучает 86 изотоп криптона.

Оказалось, что 1 650 7634, 75 длины отражённой волны с высокой степенью точности соответствует 1 м, что на два порядка точнее прежнего.

На практике, исключительно для удобства и нежелания рисовать много нулей перед или после значащей величины, часто используются производные единицы длины, сведения о которых приведены в табл. 1. 1

Таблица 1.1

Из соотношения единиц длины автоматически следуют соотношения между единицами площади, которые представлены в табл. 1.2.

              Таблица              1.2

Соотношения между единицами объёма приведены в табл.

Таблица 1.3

Время. Понятие времени не в пример сложнее длины. Если понятие длины утвердилось с самых древних времён, то трактовка времени постоянно трансформировалась с всё новыми его свойствами.

Аристотель считал время «числом движения», а Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) физик, философ-идеалист, математик, изобретатель, юрист, историк и филолог полагал, что время есть абстракция соотношений всех последовательностей. «Нельзя в одну и ту же реку войти дважды» несомненно, можно отнести и к понятию времени.

Дело в том, что эталоном длины можно пользоваться многократно, на своё усмотрение, прикладывая линейку к измеряемому объекту требуемое число раз. Эталон времени может быть использован только однократно, что требует для использования только повторяющихся, периодических процессов.

Первые попытки введения эталона времени были связаны с очевидными периодическими процессами. Древние Славяне, жрецы Древнего Китая и Месопотамии практически одновременно, в историческом масштабе времени, разумеется, обратили внимание на то, что Луна являет свой лик через определённые промежутки времени. Возникли лунные календари.

Оказалось, что фазы Луны не совпадают с продолжительностью года, приходилось в конце года добавлять дни.

Время, исчисляемое таким способом, называется всемирным временем. Всё бы ничего, но обнаружилось, что Земля, строго говоря, вращается вокруг собственной оси не совсем равномерно, отсюда обеспечить точность более 10 - 8 оказалось невозможным.

Во многих научных, технологических и транспортных процессах требовалась более жёсткая синхронизация. По аналогии с длиной для увеличения точности измерения времени воспользовались свойством периодичности процессов на атомном уровне.

В качестве одного из наиболее точных эталонов времени стали использовать длительность 9 192 631 770 периодов атомных колебаний 133 изотопа цезия. Использование атомного эталона времени позволило сравнивать длительность отдельных событий с точностью до 10 - 12

Атомные часы «ошибаются» на 1с за 30 тыс. лет. Пошли ещё дальше, обнаружив, что излучение водородных лазеров ещё более стабильно, что позволяет повысить точность в сравнении с атомным эталоном ещё на два порядка. В табл. 1.4 приведены данные об относительной точности часов, использующих в качестве эталона различные периодические процессы

Таблица 1.4

В настоящее время в разных областях человеческих знаний используется несколько временных шкал, которые наилучшим образом приспособлены для исчисления конкретных процессов.

Эфемерное время. Используется в качестве независимой переменной при описании движения тел космического происхождения.

Звёздное время. Используется в астрономии и астрофизике. В качестве характерного периода принято время одного полного оборота Земли вокруг своей оси, относительно системы неподвижных звёзд.

Солнечное время. За характерную величину принято изменение часового угла Солнца. Существует истинное и среднее солнечное время, в зависимости от выбранного способа отсчёта, по истинному или среднему положению светила.

Всемирное время. Среднее солнечное время начального меридиана, за который условно принят меридиан обсерватории в Гринвиче.

Местное время. Определяется в соответствии с географической долготой местности и одинаково для всех точек на одном меридиане.

Поясное время. Среднее солнечное время, определённое для 24 основных географических меридианов, отстоящих друг от друга на угловом расстоянии 150 по долготе. Поверхность нашей планеты разделена на 24 часовых пояса, в пределах каждого из которых поясное время совпадает со временем, проходящего через них основного меридиана.

Декретное время. Вводится правительственными постановлениями. Декретное время исчисляется путём прибавления одного часа в летнее время и вычитания часа в зимнее время. Перевод стрелок часов на 1 час производится в ночь с последней субботы на воскресенье в марте и сентябре. Такое изменение времени позволяет оптимизировать хозяйственную деятельность применительно к светлому времени суток.

Всем известно, что год представляется в виде промежутка времени, равного в первом приближении периоду обращения Земли вокруг Солнца. Поскольку в качестве эталона используются разные элементарные периоды времени, то и существуют различные определения продолжительности года.

Звёздный (сидерический) год. Этот промежуток времени соответствует одному видимому обороту Солнца по небесной сфере относительно неподвижных звёзд. Продолжительность такого года составляет 365,2564 средних солнечных суток.

Тропический год. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра истинного Солнца через точку весеннего равноденствия. Тропический год имеет продолжительность в 365,2422 средних солнечных суток.

Аномалистический год. Продолжительность такого года равна времени между двумя последовательными прохождения центра Солнца через перигей его видимой геоцентрической орбиты. Аномалистический год состоит из 365,2596 средних солнечных суток.

Драконический год. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через один и тот же узел орбиты Луны на эклиптике. Дра- конический год состоит из 346,62 средних солнечных суток.

Лунный год. Двенадцать синодических месяцев включают 354,3671 средних солнечных суток.

Календарный юлианский год (старый стиль). Состоит из 365,25 средних солнечных суток.

Календарный григорианский год (новый стиль). Включает в себя 365,2425 средних солнечных суток.

В качестве продолжительности месяца, формально составляющего 1/12 часть продолжительности года, принят промежуток времени, близкий к периоду обращения Луны вокруг Земли. Принято месяцы классифицировать следующим образом.

Синодический месяц. Исчисляется, как промежуток времени, соответствующий периоду смены фаз Луны. Соответствует 29,5306 средних солнечных суток.

Звёздный месяц (сидерический). Время полного оборота Луны вокруг Земли относительно звёзд, что составляет 27,5306 средних солнечных суток.

Календарный месяц. От фаз Луны не зависит и включает в себя от 28 до 31 суток.

В качестве суток чаще всего, используется понятие эфемерных, солнечных и звёздных суток.

Эфемерные сутки, состоят из 24 часов, что равно 1440 минут или 86400 секунд.

Солнечные сутки. Равны периоду обращения Земли относительно Солнца. Продолжительность солнечных суток равна от 24 ч 0,3 мин 36 с до 24 ч 04 мин 27 с звёздного времени.

Звёздные сутки (сидерические). В качестве эталона принят период вращения Земли вокруг своей оси относительно звёзд. Звёздные сутки состоят из 23 ч 56 мин 040905 с среднего солнечного времени.

Часы, минуты и секунды получаются арифметически при простом делении продолжительности суток. Час равен промежутку времени, соответствующему 1/24 суток. В качестве минуты, состоящей из 60 с принята шестидесятая часть часа. Однако напомним, что отсчёт начинается с первоначального эталона - секунды, равной 9 192 631 770 периодов излучения цезия-133, соответствующего переходу атома между двумя сверхтонкими энергетическими уровнями.

Изучение любого движения, вне зависимости от его сложности и происхождения начинается с довольно простых вопросов: «Где и когда?». В повседневной жизни на такие вопросы мы отвечаем на уровне подсознания, не заостряя внимания на конкретике.

Назначая кому-либо рандеву, «забивая стрелку», вы непременно обозначаете место встречи, привязывая точку встречи к известному объекту, магазину, архитектурному памятнику и т.п. и устанавливаете время свидания в часах и минутах. Другими словами, вы задаёте систему пространственного отсчёта и включаете в ней отметчик времени, секундомер, хронометр или тривиальные часы.

То же, в принципе, приходится делать и при описании движения в физике. В отличие от повседневности, при физическом описании движения необходимо процесс организовать так, чтобы можно было движение в целом, или отдельные его фазы описать математически. Получить некие уравнения, используя которые можно было бы прогнозировать результаты. Говорить о движении, не задав систему отсчёта и не включив в этой системе секундомер, занятие, по меньшей мере, бесполезное.

После того как Рене Декарт (1596 - 1650) в 1637 г. опубликовал свою работу «Рассуждение о методе», в которой, в частности, привёл первое систематизированное изложение аналитической геометрии, сопоставив геометрическим образам алгебраические уравнения, выбор системы отсчёта стал более очевидным.

Декартова система координат, хорошо известная каждому, даже очень посредственному школьнику, стала одним из основных и удобных средств исследования движений.

Положение математической точки (ещё будет и материальная точка) в декартовой системе задаётся тремя числами (рис. 1.3), обозначающими длины отрезков (Mx, My, Mz), отсекаемых перпендикулярами, опущенными из точки на соответствующие оси {Ox,

Оу, О}.

Для того чтобы задать пространст-              Рис. 1.3. гДекартова систе/ма координат венное движение в координатной форме, необходимо указать, каким образом координаты исследуемой точки изменяются во времени, т.е. требуется записать систему трёх алгебраических уравнений

Гх = f1 (t);

4 У = f2 (t)

[z = f3 (t).

Координаты точки М измеряются в метрах, а время, чаще всего в секундах. Если движение протекает в плоскости, например, в {Оху}, то для описания такого движения требуется всего два уравнения

|х = f1(t);

[У = f2 (t )•

Самым простым случаем, в этом плане, является движение вдоль прямой, для его исчерпывающего описания требуется всего одно уравнения

х = f (t).

Приведенные выше соотношения между координатами и временем называются уравнениями движения. Используя эти уравнения можно определить все кинематические характеристики движения: скорость, ускорение, путь, траекторию и перемещение.

Если начало системы отсчёта, точку О соединить направленным отрезком с исследуемой точкой М, то получится, так называемый радиус-вектор ^^, при этом отрезки (Mx, My, Mz) будут являться проекциями этого радиус-вектора на оси декартовой системы координат.

Прежде чем следовать далее, необходимо несколько слов сказать о векторах. Дело в том, что в физике полезно наряду с прочими способами, провести классификацию величин по признаку их направленности.

Так, например, количество автомобилей, стоящих под окнами дома, температура, давление, количество денег в вашем кармане однозначно определяются одним числом.

Перемещение, скорость, силу и некоторые другие величины, о которых будет сказано далее, одним числом охарактеризовать невозможно. На вопрос: «На стоянке стояли три автомобиля, сколько автомобилей будет стоять, если приедут ещё четыре транспортных средства?». Вы ответите: «Семь». И будете абсолютно правы. Если же с этими числами составить вопрос для сложения скоростей: «Чему будет равна сумма скоростей vi = 4 м/с и v2 = 3 м/с?». Вопрос без задания направления скоростей, мягко говоря, некорректен.

Векторы складываются геометрически, по правилу параллелограмма (рис. 1.4). Уравнение, по которому определяется результирующий вектор следует из тригонометрической теоремы косинусов

|V1 + V2| Av2 + v2 + 2v1v2 cos а              .

Геометрическое правило сложения векторов представляет собой достаточно простую операцию. Чтобы сложить два вектора, необходимо в соответствующем масштабе построить их из одной точки, на-

„              ,              ,              „              пример              А, и образовать параллело-

Рис. 1. 4. Сложение векторных величин

грамм. В этом случае сумма векторов геометрически представится в виде диагонали параллелограмма, соединяющей начальную точку с противоположной вершиной.

Кстати, разность этих векторов тоже будет являться векторной величиной (рис. 1.5) и геометрически представиться как вторая диагональ всё того же параллелограмма, соединяющая концы исходных векторов.

Из уравнения геометрической суммы векторов можно получить несколько частных случаев, которые сделают вычисления более эффективными.

Результат сложения при неизменных величинах суммируемых векторов будет определяться величиной угла а, поскольку cosa может менять своё значение от - 1 до + 1, с переходом через нулевое значение.

Предположим далее, что векторы скоростей направлены в одну сторону, в этом случае a = 0, следовательно, cosa = 1. Уравнение модуля суммы перепишется следующим образом

Iv1 + v2 Av12 + v2 + 2v1v2 =V(v1 + V2)2 = V1 + v2              .

Суммарная скорость в этом случае будет равна алгебраической сумме (4 + 3) = 7. Если скорости направить в противоположные стороны, то а = 1800, cosa = - 1

Iv1 + v 2 = V v12 + v2 - 2v1v2 = з/Г - v2 )2 = v1 -v2              .

В этом случае суммарная скорость составит 1 м/с. Таким образом, при сложении заданных скоростей величина результирующего вектора может изменяться от 1 м/с до 7 м/с, в зависимости от величины угла между слагаемыми векторами.

Ещё один часто встречающийся случай, а = 90 ,при этом cosa = 0, обсуждаемое уравнение при таком условии трансформируется в теорему Пифагора

|v1 + v 2 = Jvf+v'2 = V42 + 32 = 5м ,

с

Векторное представление движения позволяет уравнения движения записывать более рационально. Возвращаясь к рис. 1.3, отметим, что радиус-вектор ^ на самом деле характеризуется тремя числами, т.е. координатами его конца.

Если задать во времени изменение этого вектора, то получится уравнение движение в векторной форме

г = f (t).

Таким образом, одно и то же пространственное движение может задаваться в виде трёх алгебраических уравнений типа (2.1) или одним векторным уравнением.

Векторный способ задания движения удобен для исследовательских целей. Меньше писанины, одно уравнение не три. Векторы выдумали, для того чтобы, используя правила векторной алгебры, складывать, вычитать и умножать векторные величины, получая результат наиболее коротким путём.

Для решения же практических задач предпочтительнее координатный способ, он более просто воспринимается, потому, что все привыкли к тому, что все материальные предметы характеризуются длиной, высотой и шириной.

и его координат

Между координатным и векторным способами задания движения существует очевидная взаимосвязь, которую для простоты выводов рассмотрим для плоского случая, т.е. в координатах {O,x,y}.

Изобразим на плоскости точку, например k (рис. 1.6) и проведём соответствующий ей радиус-вектор ?. Треугольник Окр является прямоугольным с гипотенузой rk и катетами rx и ry, что даёт возможность, используя теорему небезызвестного Пифагора записать очевидное уравнение

Чтобы найти модуль радиус-вектора, необходимо его проекции на оси координат возвести в квадрат, сложить и из результата извлечь корень квадратный, т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

С другой стороны, зная модуль радиус-вектора и его направление (угол а) можно определить проекции этого радиус-вектора на оси координат, используя определения косинуса и синуса

x k\              ’              —              y

.+1              lrk|              '              '

Уравнения позволяют осуществлять переход от координатной формы задания движения к векторной и наоборот. Проекция (компонента) вектора на ось равна произведению модуля вектора и косинуса угла, образованного вектором и положительным направлением оси.

В зависимости от величины угла, образованного положительным направлением оси и вектором, проекция вектора на ось может, при прочих равных условиях, быть положительной, отрицательной или равной нулю (рис. 1.7)

:її ^r„

cos а

rk cos а;

sin а

rk sin а

-gt;х

а = 90"

О

г = 0

Векторы можно умножать на положительные и отрицательные числа (умножать вектор на скаляр). Если некий вектор ? умножить на положительное число k, то получится новый вектор, имеющий направление исходного вектора, но его модуль будет в k раз больше

R = к?.

Если число к будет отрицательным, то модуль результирующего вектора ^так же увеличится в k раз, но его направление изменится на противоположное.

Введём сразу три величины, характеризующие движение - траекторию, путь и перемещение. Траекторией называется линия, вдоль которой происходит движение. Траекторию можно рассматривать как геометрическое место точек, в котором последовательно в процессе движения побывал исследуемый объект.

Путь - это часть траектории, проходимая движущимся объектом за данный промежуток времени.

Рис. 1.8. Траектория, путь и перемещение

Рассмотрим схему движения Земли вокруг Солнца.

Светило (рис. 1.8), как известно, расположено в одном из фокусов эллипса, который является траекторией годового путешествия нашей планеты. Если выделить два произвольных положения Земли на траектории, например 1 и 2, то путь представится ча-

стью траектории. Он выделен более жирной линией зелёного цвета.

В зависимости от геометрического вида траектории происходящие движения могут быть прямолинейными, криволинейными, в частности, круговыми. Если начальную и конечную точки пути соединить направленным отрезком (вектором) ejr , то получим перемещение.

Уравнения движения, в частности, позволяют установить вид траектории и определить величину пути за заданный промежуток времени. Покажем такую возможность на примере.

Пусть некая точка движется в плоскости в соответствие с уравнениями:

[х = Asin Qt,

[y = Acos Qt,

где А = 2 м, q = п/4 рад/с - постоянные для данного движения величины. Установить вид траектории непосредственно по виду уравнений движения затруднительно. Как следует из определения, уравнение траектории представляет собой соотношение, связывающее координаты, а уравнения движения связывают эти координаты со временем.

Чтобы получить из уравнений движения вид траектории, необходимо исключить из них время. В данном случае выражать время из одного уравнения и подставлять во второе, занятие малоперспективное для начинающих.

Лучше использовать более изящный приёмчик. Люди обременённые элемен-

22

тарными знаниями основ тригонометрии, осведомлены о том, что sin а + cos а = 1. В данном случае, чтобы воспользоваться этим обстоятельством достаточно заданные уравнения движения возвести в квадрат и почленно сложить, правила алгебраических преобразований уравнений это допускают.

f 2 л 2 •              2              ,

х = A sin Qt,

2 2 2 х + у = A

[у2 = A2 cos2 Qt.

Как видно из последнего уравнения рассматриваемая точка движется по круговой траектории радиуса А (рис. 1.9).

Предположим, что в начальный момент времени (t =0) исследуемая точка находилась в положении 1 и имела следующие координаты х1 = 0, у1 = А, далее за промежуток времени т = 1 с точка переместилась в положение 2. Для определения

x2 = 2sin

y2 = 2cos

8

За указанное время точка повернётся на угол a = п/4 рад, пройдя путь S = a А = 1,57 м. Модуль перемещения точки определится как длина хорды

1^ і ^ * • alt; _ . . п              _ _

rJ = 2Asrn— = 2Asm — = 1,53м              .

координат точки 2 необходимо значения т, А и ю подставить в уравнение движения

— 1І = 2 • 0,707 = 1,41м

4 J

-•11 = 2 • 0,707 = 1,41м 4 J

2