Основные кинематические характеристики.

1) Вектор элементарного перемещения.

Предположим, что в некоторой системе отсчета происходит движение материальной точки. В момент времени t - ее радиус-вектор .

z

y

x

Перемещение за некоторый промежуток времени - вектор, соединяющий начальное и конечное положение и направленный начального к конечному положению.

Причем, необходимо различать путь и перемещение . Путь – это длина траектории (расстояние)и скаляр. Перемещение – вектор, характеризующийся точкой приложения, направлением и модулем. Длина пути и перемещения не совпадают.

2) Скорость.

а) средняя – это величина, характеризующая изменение положения частицы в пространстве. Вектор средней скорости при перемещении между двумя точками определяется как вектор, совпадающий по направлению с перемещением и равный:

, где

Средняя скорость характеризует движение за какой-то промежуток времени. - вектор, но иногда среднюю скорость определяют как скалярную величину.

z

у

х

При неограниченном уменьшении Δt, стремится к ее предельному значению, равному мгновенной скорости.

б) мгновенная скорость. Понимается предел, к которому стремится при устремлении промежутка времени Δt к нулю:

,

где - вектор элементарного перемещения.

Это выражение представляет собой производную функции от переменной t.

Представим в декартовой системе координат:

Поскольку , , постоянны, то

Направление задается направляющими косинусами:

;

Следовательно, компоненты скорости:

Если движение задано через параметры траектории, то известны траектория и зависимость пути от времени.

- вектор, касательный к траектории, - проекция на касательную.

Направление вектора мгновенной скорости.

z

1 2

x y

Если , то точка 2 будет приближаться к точке 1 и вектор будет иметь одну общую точку с траекторией. Следовательно, v в точке направлена по касательной. можно представить следующим образом:

,

где - единичный вектор касательной к траектории, .

3) Ускорение - скорость изменения скорости.

а) средним ускорением называется:

Будем изображать векторы в различные промежутки времени, исходящими из одного начала.

Конец вектора при движении материальной точки опишет кривую, которая называется годографом вектора скорости. Понятие годографа было введено английским ученым Гамильтоном.

При , учитывая, что

В прямоугольной декартовой системе координат компоненты вектора скорости запишутся следующим образом:

Необходимо определить ориентировку вектора ускорения относительно скорости и траектории движения.

В отличие от скорости , который всегда направлен по касательной к траектории, вектор ускорения может занимать любую ориентацию по отношению к ней.

Т.к.

Первое слагаемое - составляющая ускорения, направленная вдоль скорости и характеризующая изменение модуля скорости. Эта составляющая называется касательным, или тангенциальным ускорением:

Выясним, что представляет собой второе слагаемое.

1 α 2

α R

O

x

z

Пусть за малый промежуток времени материальная точка переместилась из 1 в 2. Изображены единичные касательные векторы .

Если , то ;

Перенесем в точку 1. Малый участок любой кривой можно представить как малую дугу некоторой окружности. В соответствие с этим, участок траектории между 1 и 2 представляется дугой окружности с радиусом R и центром в точке О. Тогда α – угол, под которым видна дуга окружности. Угол между и равен α. Угол α - малая величина, следовательно .

Тогда .

Если v – скорость движения, то ;

Из рисунка видно, что по мере того, как точка перемещается из 2 в 1, разность направлена к центру окружности, которая заменяет участок кривой.

, где - единичный вектор, перпендикулярный .

Определить направление этой составляющей ускорения, можно воспользовавшись равенством:

Согласно тому, что , - нормальное ускорение.

Оно определяет, как быстро изменяет вектор касательной свое направление в пространстве (или характеризует изменение скорости по направлению).

Следовательно, вектор ускорения в общем случае равен:

Длина вектора

Таким образом, вектор перпендикулярен и сонаправлен с вектором , т.е. направлен по нормали которая называется главной, вдоль которой направлен . Плоскость в которой лежат и называется соприкасающейся.

При движении точки по окружности нормальное ускорение называется центростремительным, поскольку центр кривизны траектории для всех ее точек одинаковый и совпадающий с центром окружности.