6.6. Распределение молекул по скоростям

Скорость каждой молекулы, участвующей в хаотическом движении, как и любая векторная величина, характеризуется направлением и абсолютным значением.

.

(6.54)

Значит, вероятность того, что модуль скорости будет иметь определенное значение, зависит от вероятностей иметь выбранные определенные значения ее проекций, то есть будет вероятностью сложного события. В случае независимых событий вероятность сложного события равна произведению вероятностей простых событий:

Поскольку вероятности простых событий можно найти по известным теперь нам функциям распределения:

; ; ,

(6.56)

то вероятность того, что модуль скорости приобретет выбранное нами значение, будет определяться выражением :

.

(6.57)

Произведение дает объем dw бесконечно малого кубика, в который упирается конец вектора скорости, а произведение функций распределения можно заменить произведением их значений:

.

(6.58)

С учетом выражения (6.54) получим:

.

(6.59)

Индекс 1 введен потому, что полученная нами вероятность dw₁ характеризует возможность появления молекулы c выбранной нами абсолютной величиной скорости при одном, фиксированном ее направлении.

В этом случае концы векторов образуют сферу радиусом u, а если скорости задать приращение du, сфера будет чуть большего радиуса u + du. Между двумя сферами образуется слой толщиной du. Если вероятность dw₁ пропорциональна объему dw, то теперь, когда совокупность всех возможных векторов скорости упирается в сферический слой, она должна быть пропорциональна объему этого слоя. Радиус слоя равен u, значит объем его равен 4pu²du и вероятность

.

(6.60)

Эта вероятность больше, нежели dw₁ по вполне понятным причинам: она характеризует вероятность найти молекулу с выбранной величиной скорости, летящую не в одном определенном, а в любом произвольном направлении.

Полученное соотношение дает нам искомую функцию распределения молекул по скоростям. Ею будет все выражение в правой части равенства (6.60, стоящее перед интервалом du случайной величины.

В итоге мы имеем теперь три функции распределения: первая найдена подбором в соответствии с двумя условиями (см. вывод уравнения (6.41)); вторая и третья – как коэффициенты пропорциональности между вероятностью dw и соответствующим интервалом du случайной величины в уравнениях (6.59) и (6.60) соответственно. Выпишем их отдельно:

;	(6.61)
;	(6.62)
.	(6.63)

Первые две функции монотонно убывающие, как того и требовало одно из условий при их подборе. Третья функция представлена произведением двух конкурирующих сомножителей: убывающего сомножителя и возрастающего сомножителя u². Функция в этом случае должна иметь экстремум.