6.4. Распределение молекул идеального газа по проекциям скоростей

Движение молекул газа хаотично. Молекулы имеют не только самые разнообразные направления и величины скорости, но и меняют их при столкновениях. В результате скорость данной молекулы в данный момент времени будет случайной величиной.

Функция распределения, помимо этого, может дать возможность вычислить по (6.26) число молекул dN, обладающих какой-либо выбранной скоростью. Вид функции распределения для случая движения молекул, обладающих только кинетической энергией (молекул идеального газа), был установлен Максвеллом в середине XIX века.

Приступая к решению этой задачи, Максвелл предварительно ее упростил, разделив две характеристики скорости: величину и направление. При хаотическом тепловом движении и модуль скорости молекулы, и ее направление – величины случайные, поэтому решение задачи существенно усложняется. Однако вектор скорости можно разложить на составляющие – проекции вектора на оси координат. Проекции – не векторные величины, поэтому варьировать могут лишь их абсолютные значения. Для начала Максвелл решил более простую задачу: нашел распределение молекул по проекциям скоростей. Вид этой функции он искал подбором, исходя из простых соображений:

Функция распределения определяется по (6.25), то есть является коэффициентом пропорциональности между вероятностью и интервалом значений случайной величины.

При возрастании проекции скорости вероятность найти молекулу должна убывать и при достаточно больших скоростях должна стремиться к нулю. (Ведь найти молекулу, движущуюся со скоростью света, невозможно). Иначе говоря, при u_x ® ¥ dw_x ® 0, то есть f(x) тоже стремится к нулю.

Пусть проекция скорости будет u_x.

Указанным выше условиям удовлетворяют различные функции, например:

,

(6.34)

где c – коэффициент пропорциональности. Максвелл предположил, что в данном случае подойдет более сильная зависимость:

(6.35)

Смысл параметров с и a, введенных по соображениям размерности, предстоит еще выяснить.

При таком виде функция будет более резко спадать при увеличении . Правильность выбора можно проверить так же, как и любую гипотезу молекулярно-кинетической теории: с помощью подобранной функции вычислить какую-либо величину и сравнить ее с экспериментом. Такой величиной является, например, средняя скорость движения молекул. Но о ней речь еще впереди.

Величина коэффициента пропорциональности c может быть найдена из условия нормировки (6.29) функции распределения:

,

(6.36)

или

.

(6.37)

Следовательно

.

(6.38)

В знаменателе стоит интеграл Пуассона, значение которого не определяется обычным интегрированием, а потому приводится в таблицах.

;	(6.39.1)
;	(6.39.2)
.	(6.39.3)

Учитывая первое из приведенных выше уравнений и введя в качестве переменной u_x , получим из (6.39.1)

с = ,

(6.40)

и тогда

.

(6.41)

Равенство (6.41) и есть функция распределения молекул по проекциям скоростей. А зная функцию распределения, нетрудно записать и вероятность. Согласно определению, они отличаются друг от друга лишь на интервал случайной величины:

.

(6.42)