6.5. Смысл постоянной a

Постоянная в распределении молекул по проекциям скоростей введена по соображениям размерности при подборе вида функции распределения.

Хорошо известно, что давление определяется двумя макрохарактеристиками – температурой и концентрацией (6.20). Вместе с тем, зная функцию распределения по проекциям скоростей, его можно связать с характеристиками движения каждой молекулы – проекцией ее скорости, массой. Действительно, газ оказывает давление на стенки сосуда, поскольку молекулы, ударяясь о стенку и отскакивая от нее, каждая действует на стенку с силой f₀. Эта сила будет тем больше, чем быстрее двигалась молекула по направлению к стенке. Поэтому давление p разумнее всего вычислять как

,

(6.43)

где dp - давление, создаваемое ударами молекул, скорости которых близки друг другу, т.е. лежат в достаточно малом интервале скоростей du_x. Индекс означает, разумеется, что рассматривать следует проекции скоростей, чтобы можно было считать молекулы летящими только вдоль осей, перпендикулярных стенкам.

Если всего вдоль оси x движется N молекул, то только dN молекул будут иметь выделенную нами скорость. Поскольку давление – это сила, действующая на единицу площади, то, обозначив через f₀ силу удара одной молекулы и через dS – элемент площади, получим:

.

(6.44)

Задача теперь сводится к нахождению двух величин: dN и f₀. Сила удара молекулы может быть найдена по второму закону Ньютона:

,

(6.45)

.

(6.46)

где m₀ – масса одной молекулы.

Теперь найдем dN из следующих соображений: так как скорости разложены на составляющие, можно представить, что все молекулы движутся лишь вдоль осей. Выделим на стенке сосуда элемент площади dS (рис. 6.7). О поверхность dS будут ударяться лишь те молекулы, которые находятся в объеме длиной u_xDt и площадью dS. Те молекулы, которые находятся за пределами этого объема, не ударятся о стенку, если даже они будут двигаться по направлению к ней (молекулы, находящиеся на расстоянии l > u_xDt, за Dt секунд не успеют подлететь к dS). Следовательно,

Если n – концентрация всех молекул, то dn – это концентрация молекул, обладающих выбранным нами значением u_x. Согласно определению, вероятность найти такие молекулы будет:

,

(6.48)

где f () – функция распределения молекул по проекциям скоростей. Подставляя в (6.44) силу по (6.46), dN по (6.47) и, наконец, dn по (6.48), получим:

,

(6.49)

или, используя полученное выше значение функции распределения по (6.41):

.

(6.50)

Интегрируя в пределах от 0 до р во всем интервале скоростей, получим:

(6.51)

Если воспользоваться для нахождения значения интеграла уравнением (6.39.2), будем иметь:

.

(6.52)

Воспользовавшись известным выражением для давления через концентрацию и температуру (6.21), получим окончательно:

.

(6.53)