3.5. Обратная проекция с фильтрацией

В настоящее время разработаны алгоритмы обратной проекции с фильтрацией, которые организуют вычислительный процесс так, что полная обработка может осуществляться в режиме реального времени, в процессе получения отдельных проекций и завершается реконструкцией m(х,у) после обработки последней проекции.

Процедура обратной проекции состоит из двух вычислительных операций: собственно «обратного» проецирования результатов измерения проекции вида (3.7) на всю плоскость (х,у) в направлении сканирующих лучей (см. рис. 3.7), когда величина каждой измеренной лучевой суммы р(r,j) присваивается всем точкам s, образующим этот луч, и суммирования (в каждой точке плоскости изображения) результатов обратного проецирования всех измеренных под разными углами линейных проекций.

Как показали экспериментальные исследования, обратная проекция не позволяет непосредственно восстановить исходное изображение m(х,у). Полученное суммарное изображение несет информацию об исходном изображении и даже в виде, близком к m(х,у), но оно сильно искажено: отдельные яркие точки изображения имеют звездные тянущиеся искажения, плавные распределения становятся малоконтрастными. Однако в дальнейшем эта методика в модифицированном виде стала наиболее популярной.

В интегральной форме процедура обратной проекции с учетом выражений (3.7) и (3.8) может быть записана в виде

(3.16)

где проекция р(r,j) может быть выражена через свой одномерный спектр Р(К, j):

(3.17)

Тогда из формул (3.16) и (3.17) с учетом выражения (3.8) имеем

(3.18)

где в подынтегральном выражении дополнительно произведено умножение и деление на |K|.

Полученное выражение есть запись обратного двумерного преобразования Фурье спектра вида в полярных координатах. Тогда из выражения (3.18) с учетом формулы (3.15) получим

(3.19)

Таким образом, метод обратной проекции позволяет получить суммарное изображение, однозначно связанное с искомым, но искаженное.

Для того чтобы по суммарному изображению , полученному методом обратной проекции (3.16), восстановить точное значение искомого распределения m(х,у), суммарное изображение необходимо согласно (3.19) подвергнуть «ро- фильтрации», т.е. каждую гармоническую составляющую умножить на |K|. Физически это означает, что процедура обратной проекции (3.16) приводит к искажению спектра изображения (ослаблению верхних пространственных частот) и для точной компенсации этого эффекта достаточно умножить спектр суммарного изображения на |K|.

Однако в силу известных свойств преобразования Фурье, эквивалентную корректирующую фильтрацию можно реализовать непосредственно путем модификации исходных линейных проекций p(r,j) ® р*(r,j) при сохранении общей схемы обратного проецирования (рис. 3.9), но с получением тoчнoго знaчeния m(х,у).

p(r, j) -¸® p*(r, j)

Рис. 3.9. Обратная проекция с фильтрацией

Особенностью обратной проекции с фильтрацией является наличие отрицательных областей в структуре модифицированных проекций р*(r,j).

В настоящее время наиболее распространены три разновидности метода обратной проекции с фильтрацией, отличающиеся формой математического формирования модифицированных проекций р*(r,j): фильтрация по Фурье, по Радону и сверткой.

Выражение для обратного преобразования Фурье искомого распределения m(х,у) в полярных координатах может быть представлено в виде

(3.20)

где

и

Тогда с учетом формулы (3.15) из выражения (3.20) получим

, (3.21)

где

(3.22)

Выражение (3.22) определяет сущность метода фильтрации по Фурье: сначала для каждой проекции с помощью (3.15) вычисляется одномерный спектр Р(К,j), затем согласно (3.22) в пространстве спектров осуществляется «ро-фильтрация» умножением спектральных составляющих на |К| и обратное Фурье-преобразование с получением модифицированной проекции р*(r,j). Затем производится обратное проецирование модифицированной проекции на плоскость изображения (3.21) и повторение этой процедуры для всей совокупности проекций в интервале углов 180°. Для такой реконструкции необходимо выполнить не менее 0,6n3 умножений.

Другие методы фильтрации базируются на теореме о спектре свертки. Фильтрация по выражению (3.22) может осуществляться путем свертки исходной проекции р(r,j) непосредственно в пространстве изображения с соответствующей свертывающей функцией фильтрации h(r). Так, из формулы (3.22) имеем

(3.23)

Аналитическое выражение для подобной точной реконструкции двумерного изображения по его проекциям применительно к теории гравитации было впервые дано Радоном. По Радону интеграл свертки (3.23) (см. общие формулы (3.5)) может быть представлен в виде

(3.24)

Для такой реконструкции необходимо произвести не менее 1,4n3 умножений.

В методе фильтрации сверткой вычисляют непосредственно интеграл свертки (3.23), где фильтрующую функцию h(r) вычисляют по частотной характеристике

(3.25)

Это соответствует случаю точной реконструкции изображения с пространственным спектром, ограниченным максимальной пространственной частотой Kmax.

(3.26)

И окончательно для интеграла свертки (3.23) получим

(3.27)

Последнее выражение чаще используется в виде упрощенного соотношения:

(3.28)

Вычисления формулы (3.28) значительно упрощаются при переходе к дискретным отсчетам, так как

sin2[pKmax(r – x)] = sin2(pm/2)

принимает только два значения: 0 или 1.

Для реконструкции изображения с фильтрацией сверткой (3.28) необходимо произвести не менее n3 умножений. Этот метод реконструкции нашел наибольшее применение в коммерческих компьютерных томографах.