1.2.2. Картографическая проекция
Для создания карт уменьшенное в заданном масштабе горизонтальное проложение физической поверхности Земли нужно перенести со сферической поверхности на плоскость.
Изображение поверхности земного эллипсоида на плоскости по определенным математическим законам называется картографической проекцией.
Развернуть сферическую поверхность на плоскости без разрывов и складок невозможно. Спроектированные на поверхность земного эллипсоида очертания материков, островов и других частей Земли могут быть изображены с соблюдением подобия лишь на глобусе.
Картографических проекций существует очень много. Каждой из них соответствуют определенные искажения поверхности эллипсоида при его изображении на карте. К таким искажениям относятся искажения длин линий, площадей и углов. Характер искажений зависит от вида картографической проекции, на основе которой составляется карта.
Прежде чем, приступить к описанию сущности картографических проекций, необходимо уяснить основные точки и линии земного эллипсоида, которые также проецируются на плоскость.
Концы земной оси, вокруг которой происходит суточное вращение Земли, называются географическими полюсами – северным Р и южным Р1 (рисунок 1.4).
Плоскость, перпендикулярная к оси вращения Земли и проходящая через ее центр, называется плоскостью земного экватора. Эта плоскость пересекает поверхность земного эллипсоида по окружности, называемой экватором ЕЕ1. Плоскость экватора делит Землю на две полушария – северное и южное.
Линии пересечения поверхности земного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости экватора, называются параллелями, а линии пересечения поверхности земного эллипсоида вертикальными плоскостями, проходящими через земную ось, – географическими или истинными, меридианами.
На рисунке 1.4 параллелью точки М является линия АМА1, а меридианом – линия РМР1 .
Сетка, образованная пересекающимися меридианами и параллелями, называется географической сеткой.
Чтобы лучше понять геометрические измерительные свойства карты, разберем сущность картографических проекций. Для этого обратимся снова к глобусу. На глобусе, как уже указывалось, все части земной поверхности изображаются с полным сохранением своего подобия и пропорциональности. Это значит, что построенная на глобусе географическая сетка, а, следовательно, и все изображение поверхности Земли обладают следующими основными геометрическими свойствами:
1. Любой отрезок линии, взятой на поверхности земного эллипсоида, изобразится на глобусе с одинаковым уменьшением, то есть масштаб изображения остается на глобусе всюду одинаковым. Все меридианы на глобусе равны по длине между собой. Это свойство называется равно масштабностью изображения.
2. Любой горизонтальный угол, взятый на земном эллипсоиде, равен соответствующему ему углу на глобусе, то есть изображение на глобусе любой фигуры подобно действительным ее очертаниям в натуре. Все меридианы на глобусе пересекают параллели под прямым углом. Это свойство называется свойством равноугольности.
3. Размеры всех площадей изображаемых на глобусе, пропорциональны их действительным размерам на земном эллипсоиде, то есть отношение площадей на глобусе к соответствующим площадям на земном эллипсоиде постоянно. Это свойство называется свойством равновеликости изображения.
Все эти свойства одновременно и полностью сохранить на карте невозможно. Построенная на плоскости (то есть на карте) картографическая сетка, изображающая меридианы и параллели, а следовательно, и все контуры местности, внесенные в эту сетку, будут всегда в той или иной мере искажены. При этом различают искажения длин, площадей и углов.
В каждом государстве топографические карты должны по возможности составляться в единой картографической проекции, наиболее подходящей для территории данной страны. Наличие топографических карт, составленных в различных проекциях, создает большие неудобства при работе с ними.
По характеру искажений различают следующие картографические проекции:
равноугольные – сохраняющие равенство углов между направлениями на карте и в натуре;
равновеликие – сохраняющие пропорциональность площадей на карте соответствующим площадям на земном эллипсоиде;
равнопромежуточные – сохраняющие постоянство масштаба по какому-либо направлению;
произвольные – не сохраняющие ни равенства углов, ни пропорциональности площадей, ни постоянства масштаба.
Искажения на таких проекциях распределяются равномерно.Для всех топографических карт Российской Федерации масштабов 1:10000, 1:25000, 1:50000, 1:100000, 1:200000 и 1:500000 принята единая равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса–Крюгера, названная так по имени немецкого ученого математика и картографа К.Гаусса (1777–1855), предложившего ее в 1825 году. В 1912 году Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. После этого проекция получила название проекции Гаусса –Крюгера и нашла широкое применение в топографии и геодезии.
«Равноугольная», как было указано выше, означает, что направления и углы на местности и на карте совпадают без искажений. Геометрическая сущность проекции заключается в следующем.
Так как вследствие шарообразности Земли всю или значительную часть ее невозможно изобразить без заметных искажений на одной карте, то приходится делить земной эллипсоид по определенному правилу на зоны и составлять карты для каждой из них в отдельности. Размеры зон устанавливаются с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было развернуть в плоскость без практически заметных искажений.
Исходя из этих соображений, для получения картографической сетки и составления по ней карты в проекции Гаусса поверхность земного эллипсоида разбивается по меридианам на 60 зон, по 6° каждая (рисунок 1.5). Средний меридиан в каждой зоне называется осевым меридианом; он делит зону на две равные части – западную и восточную.
Счет зон ведется с запада на восток от начального меридиана, за который принят Гринвичский меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию (в окрестностях Лондона).
Чтобы представить себе, как получается на плоскости изображение этих зон, вообразим цилиндр, внутри которого помещен земной эллипсоид, уменьшенный до заданного масштаба. При этом эллипсоид осевым меридианом первой зоны касается внутренней боковой поверхности цилиндра (рисунок 1.6). Зону спроектируем, по законам математики, на боковую поверхность цилиндра так, чтобы при этом сохранилось свойство равноугольности изображения.
Таким же способом последовательно спроектируем на боковую поверхность цилиндра все остальные зоны, одну рядом с другой. Эллипсоид при этом каждый раз поворачиваем вокруг его оси на 6° по долготе так, чтобы цилиндр последовательно касался осевого меридиана каждой вновь проектируемой зоны. Разрезав теперь цилиндр по образующей АА1 или ВВ1 и развернув его боковую поверхность в плоскость, получим изображение земной поверхности на плоскости в виде отдельных зон, соприкасавшихся одна с другой лишь в точках касания по экватору, как это показано на рисунке 1.7.Полученное таким образом в нужном масштабе изображение каждой зоны делится сеткой меридианов и параллелей на отдельные лист карты установленного размера.
Как видно на рисунке 1.7, осевой меридиан и экватор в .каждой зоне изображаются прямыми линиями, причем осевые меридианы перпендикулярны к экватору. Так как при проектировании цилиндр соприкасался с каждой зоной по осевому меридиану, то все эти меридианы изображаются в данной проекции без искажения длин и сохраняют масштаб на всем своем протяжении. Остальные меридианы в каждой зоне изображаются в проекция кривыми линиями, поэтому все они длиннее осевого меридиана, то есть искажены. Все параллели также изображаются кривыми линиями и с некоторым искажением. Эти искажения длин всех линий увеличиваются по мере удаления от осевого меридиана на восток и запад. Наибольшие искажения получаются на краях зоны, где они могут достигать величины порядка 1/1000 длины линии, измеряемой по карте. Это значит, что если, например, вдоль осевого меридиана, где нет искажений длин, масштаб карты равен 500 м в 1 см, то на краю зоны он будет равен 499,5 м в 1 см.
В практической деятельности войск такими искажениями можно пренебречь, поэтому масштаб любой топографической карты для всех ее участков можно считать постоянным.
Основные преимущества равноугольной поперечно-цилиндрической проекция Гаусса–Крюгера, применяемой для наших топографических карт, заключаются в следующем:
вследствие незначительности искажений проекция полностью отвечает всем требованиям, предъявляемым к топографическим картам. Максимальные линейные искажения, которые подучаются на краях зоны, не превосходят 0,1% длины измеряемых линий, что даже для карт масштаба 1:10000 не выходит за пределы графической точности;
данная проекция отличается универсальностью и применяется для топографических карт различных масштабов, начиная с 1:500000 и крупнее, а также для любой части земного шара;
благодаря единой проекции все наши топографические карты связаны с системой плоских прямоугольных координат.