3.4. Двумерная реконструкция Фурье
Достоинства алгоритма Фурье - реконструкции обусловлены возможностью использования широко известной схемы Кули - Тьюки (быстрого преобразования Фурье - БПФ). Быстрое преобразование Фурье с успехом применяется и в ЯМР-интроскопии (см.
п. 3.14), когда градиент внешнего магнитного поля в течение спада сигнала свободной индукции (после импульсного воздействия на образец резонансным РЧ полем) последовательно ориентируется вдоль каждой из трех взаимно ортогональных координатных осей. В этом случае сразу достигается восстановление всей трехмерной структуры объекта.Алгоритм строится следующим образом [5]. Искомому распределению m(х,у) в пространстве изображения (х,у) можно поставить в соответствие его двумерный пространственный спектр М(Кх,Ку) в пространстве спектров (пространственных частот Кх, Ку), спектральная плотность которого определяется прямым преобразованием Фурье:
(3.10)
Таким образом, при решении задач реконструкции можно найти решение в пространстве спектров М(Кх,Ку), а затем путем обратного преобразования Фурье определить искомое распределение
(3.11)
Перейдем к системе координат (r, s) с углом наклона
j = arctg(Ky /Kx) , (3.12)
из выражения (3.10) имеем
(3.13)
где
Изменяя порядок интегрирования в формуле (3.13), получим:
(3.14)
где выражение в квадратных скобках согласно (3.8) есть линейная проекция p(r,j), измеренная в пространстве изображений под углом j (3.12) к системе координат объекта. Тогда из выражения (3.14)
(3.15)
где Р(К, j) — одномерное преобразование Фурье от линейной проекции р(r, j) по переменной r:
j = arctg(Ky /Kx) , 
Полученное выражение есть следствие известной в теории n-мерного преобразования Фурье теоремы о проекциях и сечениях. Оно показывает, что несмотря на интегрирование вдоль направления луча 
, совокупность проекций р(r,j) под разными углами j несет всю необходимую информацию о пространственном спектре искомого распределения М(Кх,Ку), а следовательно, и о нем самом.
Таким образом, в самом общем случае можно предложить следующий алгоритм точной реконструкции изображения (рис. 3.8).
® интерполяция ®
Рис. 3.8. Двумерная реконструкция Фурье
На первом этапе необходимо измерить линейные проекции р(r,j) согласно выражению (3.7) для совокупности углов j, лежащих в интервале 180° (от +p/2 до –p/2). Затем рассчитать одномерный спектр Р(К,j) каждой из проекций согласно (3.15) и присвоить полученные значения соответствующим точкам двумерного пространственного спектра М(Кх,Кy), где Кх=Кcosj, Ку = Кsinj. После этого необходимо провести интерполяционный расчет всего массива значений М(Кх,Кy) на прямоугольной матрице аргументов. Наконец, производится расчет обратного двумерного преобразования Фурье по формуле (3.11), в результате которого получается точное значение искомой двумерной структуры тканей тела m(х, у).
Для двумерной реконструкции Фурье с применением алгоритма быстрого преобразования Фурье необходимо выполнить не менее n2(log2n)2 умножений. Здесь n — число отсчетов в одной линейной проекции.
Отметим, что у двумерной реконструкции Фурье есть один существенный недостаток — необходимость иметь перед вычислением обратного двумерного Фурье-преобразования по (3.11) полный набор всех проекций.