3.3. Обзор алгоритмов КТ

Известны многочисленные алгоритмы, применяемые при реконструкции томограмм. Поэтому перечислим те из них, которые чаще всего применяются на практике. Для этого рассмотрим типичную ситуацию при трансмиссионной КТ для медицинской диагностики.

Предположим, что рентгеновский источник А точечный, а луч монохроматичен и сколлимирован так, что его поперечные размеры малы по сравнению с характерными размерами структур объекта, тогда интенсивность рентгеновского излучения I(B) в каждой точке В на приемнике рассчитывается по формуле

(3.6)

где m(х,у,z) — линейный коэффициент ослабления рентгеновских лучей; I0(В) — интенсивность излучения в точке В при отсутствии объекта. Интеграл вычисляется вдоль прямой линии от точки А к точке В.

Так как показатель степени в выражении (3.6) линеен относительно распределения m(х,у,z) и не зависит от очередности соответствующих участков тела, то по отдельным проекциям невозможно осуществить глубинную дискриминацию структур объекта.

В КТ используют прием, заключающийся в том, что все лучи, а следовательно, источники и детекторы рентгеновского излучения, располагают в плоскости, совпадающей с плоскостью исследуемого сечения тела человека, что понижает размерность задачи, которая сводится к восстановлению двумерного распределения m(х,у) по известным одномерным проекциям.

Дополнительно оганичимся случаем проекций на прямые линии (рис. 3.7). Тогда для нормализованной величины линейной проекции получим

(3.7)

где координата каждого отдельного луча в проекции определяется как

(3.8)

Таким образом, задача реконструкции изображения в КТ сводится к решению интегрального уравнения (3.7) с нахождением m(х,у) по измеренным значениям р(r,j) (частный случай уравнения (3.4)).

Рис. 3.7. Система координат при реконструкции двумерного распределения m(x,y) по известным линейным проекциям (лучевым суммам) p(r,j): 1 — источник рентгеновского излучения; 2 — коллимированный луч; 3 — детектор

Алгоритмы реконструкции можно разбить на две категории. К первой относят те из них, которые базируются на широко известных методах вычислительной математики. Вторую составляют алгоритмы специального типа, созданные применительно к задачам КТ.

К первой категории относятся классические способы прямого обращения матриц, итерационные алгоритмы ART (algebraic reconstruction technique) и SIRT (simultaneous iterative reconstruction technique), в том числе с привлечением техники метода конечных элементов, метод максимума энтропии, метод Монте-Карло.

В рамках алгебраических методов, распределение m(х,у) ищут в виде квадратной матрицы из n столбцов и п строк элементарных ячеек с постоянной в пределах ячейки рентгеновской плотностью m. В соответствии с этим допущением основное уравнение (3.7) принимает вид:

(3.9)

где aij — весовой коэффициент, отражающий вклад i-й ячейки в j-ю лучевую сумму; N — общее число ячеек в изображении.

Процедура прямого обращения матриц, применявшаяся на ранних этапах развития КТ, в настоящее время практически уже не используется. Остальные из указанных алгоритмов, имеющие свои достоинства и недостатки, находят многочисленные применения и продолжают развиваться в теоретическом плане. Особенно часто применяется итерационный алгоритм ART, который успешно зарекомендовал себя еще в первом медицинском томографе Хаунсфилда, а затем в электронной микротомографии. Алгоритм максимума энтропии используется в трехмерной томографии и обходится при этом весьма небольшим числом проекций. Методом Монте-Карло возможно решение задач КТ высокой размерности и даже нелинейных.

Среди многочисленных специализированных алгоритмов КТ наиболее интересны аналитические методы реконструкции - техника полиномиальных разложений, алгоритмы Фурье-синтеза, непосредственного использования преобразования Радона (3.5) и обратного проецирования с фильтрацией (FBP).