3.2. Общие принципы томографирования
Современная томография универсальна. В зависимости от конкретной задачи восстановление структуры объекта может основываться на регистрации пучков электронов, позитронов, ионов (в том числе протонов и альфа-частиц), нейтронов, фотонов во всем диапазоне электромагнитного спектра, а также звуковых волн.
Исследуемый объект при этом облучается извне (трансмиссионная КТ) или сам является излучателем (эмиссионная КТ). Просвечивающие источники могут быть когерентными и некогерентными, с узким или широким энергетическим спектром.
Основной частью томографического процесса является процедура восстановления структуры объекта по измеренным проекциям. С математической точки зрения, это типичная задача интегральной геометрии, которая в общем виде формулируется следующим образом [2, 3, 4]. Пусть g(х) и R(x,у) — достаточно гладкие функции, определенные соответственно в n- мерном и (n+ k)- мерном пространствах; х=(х1,¼,xп) и у=(y1,¼, yk) — векторы; {М(у)} — некоторое семейство гладких многообразий. Пусть известны интегралы
(3.1)
и весовые функции R, ds — элемент меры на М(x). Требуется найти g(х). Сразу же заметим, что в большинстве задач КТ n = 2 или 3, k = 1 или 2, многообразие М — точки на прямолинейной траектории. Можно трактовать функцию f как измеренное множество проекций, а g - как искомую структуру. При классификации задач КТ удобно выделить их в две большие группы:
1. Линейные задачи КТ с сильными априорными ограничениями.
В этом случае траектории лучей, пересекающих объект в выделенной плоскости, считаются строго прямолинейными, а априорная информация относительно искомой функции g(х) обычно бывает следующей.
В простейшем случае может быть предсказан функциональный вид g(х), и тогда необходимо определить несколько неизвестных параметров, входящих в эту функцию.
Такие томографические задачи встречаются в различных приложениях теории переноса g-излучения и нейтронов, в физике кристаллов, спектроскопии плазмы и газовой динамике.Далее, может считаться известной форма кривых, на которых искомое двумерное распределение g(x) принимает постоянное значение (изолинии). Простейший и наиболее полно исследованный случай — это изолинии в виде концентрических окружностей, когда объект обладает аксиальной симметрией и неоднороден только в радиальном направлении, тогда для восстановления g(x) (x — радиальная переменная) нужна всего одна проекция f(у). Уравнение (3.1) при R = 1 вырождается в этом случае в классическое уравнение Абеля:
(3.2)
имеющее для непрерывной дифференцируемой функции f(у) единственное непрерывное решение
(3.3)
Априорные ограничения на функцию g(x) могут быть связаны и с использованием свойств симметрии объекта. В частности, многие биомолекулы, их комплексы, а также различные типы вирусов, бактериофагов, белковых кристаллов обладают спиральной, диэдрической, икосаэдрической и тому подобной симметрией.
2. Линейные задачи КТ со слабыми априорными ограничениями.
Следующим по уровню сложности является класс задач двух- и трехмерной томографии, когда исследуемый объект асимметричен. Траектории лучей по-прежнему считаются заданными и прямолинейными.
В исходном уравнении (3.1) тогда R = 1, а в качестве {М (у)} рассматривается семейство всевозможных гиперплоскостей в n- мерном пространстве. В такой постановке задача нахождения g(x) была решена одним из основоположников интегральной геометрии австрийским математиком Иоганном Радоном в 1917 г.
Рис. 3.6 поясняет схему преобразования Радона в двумерном случае. Пусть L — луч, пересекающий объект; s — измеряемое вдоль него расстояние; О — начало некоторой системы координат; j — угол между базисной линией ОМ, лежащей в выбранной плоскости, и перпендикуляром, опущенным из О на L; р — кратчайшее расстояние от О до L; n — единичный вектор (орт), определяемый тем же углом j.
В этих обозначениях вместо выражения (3.1) можно записать
(3.4)
где вектор r, повернутый относительно ОМ на угол q, характеризует положение на плоскости той точки, в которой отыскивается распределение g.
Рис. 3.6. К определению смысла переменных, используемых в формулах (3.4) и (3.5)
Как показано Радоном [2, 4], искомое распределение
(3.5)
Для расчетов можно использовать любое из выражений (3.5); внутренние интегралы имеют сингулярное ядро, поэтому в них подразумеваются главные значения в смысле Коши.