Одночастичные потенциалы для цилиндрической поры и двумерных цилиндрических адсорбентов (нанотрубок)

Цилиндрическая поверхность (двумерный континуум)

Рис. 44 поясняет способ определения расстояниямежду некоторой

точкой внутри цилиндрической поверхности радиуса Rи точкой, лежащей на поверхности цилиндра.

элемент площади цилиндрической поверхности в цилиндрических координатах dS = Rdφdz, преобразуем (3.6) к виду:

Интегрированием по zполучим

После двух замен:выражение для потенциала

будет выглядеть следующим образом:

94

допускающему интегрирование с помощью формулы Эйлера для гипергеометрической функции F ( a, b; c; z ) [173, С.373]:

Здесь Г( c) - гамма-функция [173, С.81]. После интегрирования получим:

Применив формулы преобразования гипергеометрических функций [173, С. 373,374], можно придать потенциалу более удобный для расчетов вид:

В

где z = R- r. Значок * у символов R, rи zопущен. Формула (3.19) справедлива и в случае внешней по отношению к цилиндру области.

Цилиндрическая пора

Для определения потенциала в цилиндрической поре, находящейся в сплошном однородном веществе, плотность которого равна p_s, воспользуемся 95

рис. 47. Представляя элемент объема вещества в виде dV = xdxdφdz, запишем формулу (3.8):

Рис. 44. К выводу потенциала для внутренней области, ограниченной цилиндрической поверхностью.

Рис. 45. Потенциал цилиндрической поверхности приведенного радиуса, равного трем. Окружность - диаметральное сечение цилиндра.

а

Рис. 46 Реальные наносистемы,

б

которые с достаточно высокой степенью

точности можно моделировать, как цилиндрическую поверхность: а - одностенные углеродные нанотрубки (пучок) [170]; б - одностенная углеродная нанотрубка.

После последовательного интегрирования по zи φполучим:

Заменойприведем последнее выражение к виду:

Z S 7

Рис. 47. К выводу потенциала для области внутри цилиндрической поры.

Интегрированием по переменной t [175, стр.41] получаем окончательное выражение для потенциала цилиндрической поры в веществе (в приведенных единицах):

Цилиндрический стержень

Заменяя в формуле (3.21) пределы интегрирования по xс [R,∞) на [О, ^r] и интегрируя найденное выражение по z и φ,получим промежуточное выражение для потенциала, создаваемого сплошным однородным цилиндром:

Применив формулы преобразования гипергеометрических функций [173, стр. 373,375]

получим интеграл:

Воспользовавшись формулами для интегрирования [175, С.41], получим:

Формулы преобразования из [173, С.373]

позволяют обойти особые точки в гипергеометрической функции и получить окончательное выражение для потенциала цилиндрического стержня (в приведенных единицах)

где z = r - R. График потенциала (3.23) приведен на рис. 52. Реальные наносистемы, которые с достаточно высокой точностью можно моделировать в виде цилиндрического стержня (нити) приведены на рис. 48.

Рис. 48. Реальные наносистемы, которые с достаточно высокой степенью точности можно моделировать цилиндрическим стержнем (нитью): а - нановолокно [176]; б - протонные супернити [170].

3.5.