3.3. Модели латентного профиля с двумерным распределением  

Линии, обозначенные XtiиХх^ на рис.3.1., показывают средние величины в подгруппе tпо экспертизам j и А:. Они пересекаются в так называемом центроиде точек, относящихся' к подгруппе t. Точка, соответствующая индивиду і, члену подгруппы t, показана с координатами Х1}и Х1к, соответствующими его баллам по двум экспертизам. Расстояния dl}и d± представляют собой отклонения эксперта і от средних значений] и к его подгруппы. Свойство этих отклонений таково, что их сумма по всем членам подгруппы равна нулю.

Баллы j и к эксперта і можно выразить через средние значения его подгруппы и его отклонения от этих средних:

Хц=Хц + с1ц(3-15)

94

XirXtj + di}(3-16)

Тогда mtj, сумма баллов] в подгруппах t, задается выражением:

•»:, = IX = ?(Л + 4г) = IX' + Іamp; = »,*» •              (зл?)

ПерВЫЙ ЧЛЄН В Третьей СТрОКе упрОЩаеТСЯ, ПОСКОЛЬКУ X\jодно и то же

для всех членов подгруппы. Второй член в третьей строке исчезает, так как он является суммой отклонений баллов. Баллы j в любой подгруппе tдают вклад в сумму всех баллов j так, как если бы члены подгруппы были сконцентрированы около их среднего значения для экспертизы j. Этот результат (совсем не новый) будет соответствующим образом обобщен на случай момента второго порядка mt]kдля подгруппы I

По определению и с учетов соотношений (8) и (9) выражение для mt^ принимает вид:

Щ = txux* = tixv+dulx* + lt;**) =

= І [Х«Х* + dvX* + х,Аік+ dtjdik) =              (3.18)

ntntщnt

Yuxijxtk+x,jt,dij+xtkTdv+!LdiJdik= "/**-

Первый член при этом упрощается, поскольку Х$ и Xtk одни и те же для всех членов подгрупп.

95

Гипотетическая диаграмма рассеяния

х

j

Рис. 3.1.

Здесь можно сделать дальнейшее уточнение терминологии. Величина mtjk есть сумма произведений горизонтальных и вертикальных расстояний от начала координат. Назовем ее моментом относительно начала координат. Другим видом момента является последний член в четвертой строке, сумма произведений горизонтальных и вертикальных расстояний множества точек от их центроида. Такую величину удобно назвать моментом относительно центроида множества рассматриваемых точек. Геометрическая интерпретация баллов и отклонений в качестве расстояний делает необходимым всегда каким-либо образом определять точку отсчета для момента (начало координат, центроид или какая-либо другая точка). Естественно, все это относится и к моментам других порядков. До сих пор (с четырьмя исключениями) моменты имели в качестве точки отсчета начало координат.

Поличенные результаты можно обобщить на моменты высших порядков путем наложения дополнительных ограничений на подгруппу t. Эта подгруппа должна быть определена не только как имеющая некоррелированные в ней пары из экспертиз j, к и I, но также равный нулю момент третьего порядка этих трех экспертиз относительно их центроида. С

96

этими* ограничениями  момент  третьего  порядка  относительно   начала

координат /wtjki принимает вид:

ти=пamp;$ХікХй(3.19)

Это выражение' получается аналогично для- случаяг момента третьего

с/.    •       .-      '.     •'¦¦:¦

порядка-.    Выражение:   для*  четвертого   порядка   получается•.;   аналогично введением; ограничений более высокого порядка и т.д:

Поскольку во всех наших .рассуждениях начало координат находится, в: любой; нулевой'точке, можно сформулировать утверждение: момент порядка; gотносительно некоторой;точкйї0для^ точек, имеющих нулевые; моменты, порядков^ и меньшего-порядка относительно их центроида, равен моменту порядка^ относительно точки О для ntточек, расположенных в центроиде.

Полученное утверждение представляет основу для; группировки; в уравнениях рекрутирования.

В статистике дихотомических признаков (например, в случайных экспериментах типа бросания монеты); понятие независимости обычно определяется для всех порядков совместных событий, а не только для пар событий: В? частности, в латентно-структурном! анализе внутриклассовая' независимость определяется не только-"для;всех пар величин; но также; для; всех- триплетов;, квадру-плетов и-т. д. (Легко показать на примере; что независимость высшего порядка между дихотомическими* признаками не является простым; логическим следствием* некоррелированности: между всеми парами таких признаков.)

С другой стороны, понятие некоррелированности количественных величин часто ограничивается, по крайней мере, среди психометристов, парами таких величин. Не существует внутреннего или логического различия;

между качественной и количественной статистиками. Скорее всего, просто исторически   все  сложилось  так,   что   вопрос   о   независимости   высших порядков между количественными величинами реже всего поднимался в психометрике.   Вопрос   этот   затрагивается   здесь   по   той   причине,   что правильное определение такой независимости представляется решающим

'і

для этой модели.

В предыдущем параграфе было показано, что отсутствие корреляции внутри класса между парами опытов является* синонимом исчезновения моментов второго порядка относительно центроида класса. Это происходит по той причине, что такие моменты являются числителями в формулах соответствующих корреляций. Совершенно аналогично внутриклассовая независимость высших порядков может быть приравнена к исчезновению моментов высших порядков» относительно- центроида класса.

j              несмотря на нулевую корреляцию между всеми парами из трех экспертиз

внутри класса в целом. Если картины корреляции могут отличаться в подразделениях класса, класс не однороден даже с точки зрения здравого смысла.   Поэтому   определим   внутриклассовую   независимость   в   данной

/              модели как нечто применимое к взаимозависимостям разных порядков и

проявляющееся  в   исчезновении   моментов   всех   порядков   относительно

,              центроида класса. Тогда основная теорема будет полностью применима- ко

,всем моментам каждого класса, так что результаты могут быть использованы

для преобразования в основные уравнения латентно-профилыюго анализа:

т}=п\ Хц+ пп ¦ Х2} +...+ nq• Хщ              (3.20)

^              тік=щ -Xhk+ п2-Х2}к+...+ пч-Хф

98

Щ\л=п\ -Хщ+ п2-Х2]\л +...+ Пц-Хфі

и т.д.

Таким образом, 2s моментов (включая п), получаемых на основе sэкспертиз, выражаются через (q+sq) латентных параметров qлатентных размеров классов и qсредних классов для каждого из sэкспертиз. Поэтому каждый латентный класс характеризуется его объемом и его профилем из sсредних по экспертизам, то есть его латентным профилем.

Уравнения латентного профиля и уравнения латентно-структурного анализа идентичны по форме. Следовательно, уравнения латентного профиля имеют решение, которое может быть получено без привлечения аналогов общей факторной дисперсии {т№ ту}к, т^ и т. д.), а это значит, в общем случае, что решение не зависит от вращения. Уравнения латентного профиля не ограничивают также существования криволинейных отношений между экспертизами или между экспертизами- и латентными величинами.

При получении уравнений латентного профиля балльные единицы совершенно произвольны. Будем оценивать наличие или отсутствие признаков соответственно единицей и нулем. В этом случае эмпирические величины т латентного профиля становятся идентичными с эмпирическими величинами п латентной структуры и средние по классу в анализе латентного профиля становятся латентными вероятностями латентно-структурного анализа. Размеры латентных классов означают одно и то же в обеих- моделях. Значит, модель латентной структуры представима как частный случай анализа латентного профиля, в котором эмпирические переменные имеют дихотомический характер.

Второй частный результат получается при использовании стандартных баллов и при делении уравнений латентного профиля на п - число участвующих в выборке. При этом уравнения латентного профиля приводятся к стандартной форме:

99

l=Pi+p2+---+pq

0=/?l -ZX]+p2-Z2j +.. . + pq-Zqj

Гік=/gt;1 - Zlj Zlk +P2- Z2j-Z^k +- ¦ . + /?q-Zqj-Zqk              (3.21)

^jkl^l' Zlj Zik Ziі + /?2" Z2j -Z2k Z2i +... + pq¦ Zqj -Zqk"Zqi

и т.д. Величины pпропорциональны объемам классов, и их сумма равна единице; Z являются средними стандартных баллов, по экспертизам. Их взвешенная сумма для экспертизы (во второй строке) равна нулю, так как это - среднее значение стандартных баллов, этого экспертизы; rjk будучи средними произведениями пар стандартных баллов, являются теми самыми корреляциями, которые подсчитываются на основе факторного анализ; г^\ аналогично- являются триплетными произведениями' и т. д. У уравнений латентного профиля в стандартной форме то преимущество, что они имеют дело с величинами, которые не зависят от размеров выборки и от произвольных балльных единиц.