3.2. Модель латентно-структурного анализа в системе экспертного оценивания
В данном разделе рассмотрена модель дискретных классов. Метод основан на составлении линейных уравнений рекрутирования следующего вида:
П=П\+ п2+...+ пч
Л)=иі -Рц+ "грі] +• • ¦+ gt;VAu
(ЗЛО)
П$с=Щ -pijk+ П2p2jk +...+ nqРф «jkl=«l РЩ+ П2-р2]к\ +¦ • ¦+ «q^qjkl
Величины, находящиеся слева, являются эмпирически данными, или наблюдаемыми.
Они соответствуют количеству экспертов во всей выборке п, количеству экспертов, давших положительное заключение на один вопрос пр количеству экспертов, давших положительное заключение на два вопроса «,к, и т. д. Величины справа - подлежащие дальнейшему рассмотрению латентные параметры модели. Количество величин справа qравно числу подгрупп (латентных классов), на которые в результате анализа будет производиться разделение всей выборки. Число экспертов в латентном классе 1 равно щ т. д. Латентная вероятность рцравна доле членов латентного класса 1, давших положительный ответ на вопрос j, вероятность Рцк равна доле членов латентного класса 1, давших положительные ответы на вопросы j и к, и т. д. Уравнения (3) просто показывают, каким образом эмпирические данные рекрутируются из латентных классов. По ходу дела можно заметить, что уравнения (3), которые являются системой уравнений рекрутирования, линейны по своей природе, в то время как исходные уравнения факторного анализа линейны просто потому, что их такими выбрали. Различие между наблюдаемыми и латентными характеристиками, которые так выпукло обнаруживаются в теории латентной структуры, являются, конечно, центральным и в факторном анализе.
90 Уравнения рекрутирования одинаково верны для любого способа
классификации и для любого числа латентных классов. Следующий шаг —
выбор подходящего основания для классификации. Это основа модели
латентной структуры. Естественно требовать, чтобы каждый латентный
класс был однородным относительно любых исследуемых (латентных)
величин, могущих влиять на наблюдаемые соотношения. Полная
однородность не обязательна, если отклонения от сред него в классе
случайны.
Такие случайные отклонения конечно, не коррелированны внутрикласса. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы каждый латентный
класс был достаточно однородным по отношении к любой такой'латентной
величине, так чтобы все единичные высказывания внутри класса были
независимы в смысле статистической независимости. Эта независимость
внутри классов выражается следующими уравнениями:
Р\\к = P\k-P\j, P2jk= Р2к-Р2), ¦• , Рф = Pqk-Рф
{J. 1 1)
РЦк\ = Р\к'Р\уР\ЪP2jk\ —Р2ГР2УР2\, •••gt; Ацкі ~Pqk'Pqj'Pqh
Подстановка (3.11) в (3.10) приводит к следующим уравнениям:
П-П\+ П2+...+nq
П$=Щ ¦/?!_,+ П2 р2] + • • •+ «q pqj
Щк=ПГР\к-РЪ+ ПтР2к-Р2) + • • • + "q^qk-Pqj (3-12)
«jkl=«l Р2к-Р2уР2\ + П2р2к-Р2]'Р2\ +¦ ¦ ¦+ «q Pqk'Pqj'Pql
И Т.Д.
Таким образом, все наблюдаемые совместные частоты выражаются через (q+sq) латентных параметров, qобъемов классов и qлатентных вероятностей (рц, р2у ... , Рці) для каждого из sпризнаков экспертизы. Последовательные ступени эмпирических частот насчитывают соответственно 1, s, s(s-l)l2 и т.д. членов, являющихся коэффициентами бинома (a+b)s. Складывая их, получаем 2s уравнений, связывающих наблюдаемые и латентные величины в этой модели.
91 Задача здесь, как и в факторном анализе, заключается в решении
основных уравнений относительно неизвестных латентных параметров.
Несколько решений латентной структуры уже существует. Большинство из
них [1, 7] не используют совместные частоты, с повторяющимися индексами
(паgt; wjjb пщgt; Wjju и т. д.). В анализе латентной структуры они рассматриваются-
как аналоги общих факторных дисперсий факторного анализа, которые нам-
неизвестны. Представление их в виде эквивалентов; соответствующих
смешанным частотам более низкой ступени без повторяющихся-индексов1 (то1
есть Щ=щ, «,jk=«jio и т. д.), было бы аналогом использования равных единице
корреляций в факторном анализе.
Вместо этого модель латентной структуры;обычно оперирует с этими элементами как, с индексами, величины которых
определяются латентными параметрами модели на основе наблюдаемых
эмпирических данных.
С помощью величин частот более высокой ступени бесконечного числа решений, полученных вращением и . одинаково хорошо5 объясняющих наблюдаемые частоты более низкой ступени, отбирается одно решение. Другой подход к решению скрытой структуры [55, 64] связан с частичным (иногда значительным) уменьшением неопределенности, порождаемой вращением, без расчета величин частот высших ступеней. Это достигается за счет использования того простого факта, что скрытые параметры, будучи вероятностными, не могут быть ни отрицательными, ни больше единицы.
Модель латентной^ структуры уже показала себя многообещающей в эмпирических исследованиях [13, 15]. Только то ограничение, что она рассматривает дихотомии, не позволяет ей с легкостью конкурировать с факторным, анализом количественных переменных. Рассматриваемаяgt; ниже модель латентного профиля является обобщением латентно-структурного-анализа на случай количественных эмпирических переменных [11].
Предположим, что имеется набор sколичественных измерений, таких, как баллы экспертизы в выборке из п экспертов. Пусть по некоторому правилу каждый член этой выборки приписывается одной, и только одной, из
92 qподгрупп. Тогда размер выборки, суммы баллов и суммы произведений
баллов для всей выборки выражаются через соответствующие статистики для
подгрупп следующим простым образом:
П=П\+ п2+...+ nq
П"1П2nq
fJXijXik=fjXijXik+fjXlJXlk+... +!YjXlJXlk(з.іЗ)
П«1«2ПЧ
2_jxijxikxil= 2_ixijxikxd+ 2_jxljxikxil+... + 2^ХуХ1кхп
и т.д.
Все суммирования в проводятся по экспертам. Суммирования слева проводятся по всей выборке, а справа — по членам различных подгрупп; величина Ху есть балл эксперта і по экспертизе j, и она может быть дана в единицах стандартного отклонения или в каких-либо других единицах.
То же самое относится и к Х1к, Хц и т. д.Обозначим различные суммы как т с соответствующими индексами. Так, JWj и mjk представляют соответственно сумму баллов экспертизы j и сумму произведений баллов экспертиз } и. к, причем все суммы берутся по полной выборке. Наоборот, тц и тщ обозначают те же суммы только для первой подгруппы и т. д. Уравнения (3.13) при этом принимают вид:
П=Щ+ П2+..-+ nq
mf= тц + т ¦§ +...+ т ^
(3.14) тjk= т ijk+ т2jk +...+ тф
т jki= т ijki+ т 2jki +¦ • •+ ^qjki
Будем называть величины т в (3.14) моментами различных порядков. О
моментах в третьей строке, относящихся к двум экспертизам, будем
говорить, что они второго порядка, а для трех экспертиз - третьего и т. д.
Величины т для одной экспертизы jбудем называть моментами первого
93 порядка, а п, размер выборки, назовем моментом выборки нулевого
порядка. Величины т слева в (7) назовем моментами выборки, а справа -
моментами подгрупп.
Следует отметить, последние системы уравнений не ограничивают ни
эмпирические данные, ни метод разделения на подгруппы. Темой двух
следующих параграфов будет построение методики группирования, которая
позволит преобразовать эти уравнения рекрутирования в математическую
модель.