<<
>>

Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Модели с it обслуживающими каналами. В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания яв-ляются многоканальными, и, следовательно, модели с п обслуживающими каналами (где п > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока X, при этом параллельно может обслуживаться не более п клиентов (заявок).

Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1 /\х. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования п параллельно включенных обслуживающих каналов за-ключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно п клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслужи-вания с отказами имеет вид, показанный на рис. 3.3.

X X X X X X

::: ::: Iх 2ц 3 (л к(л (к+1)ц п\х

Рис. 3.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

все каналы свободны;

занят один канал, остальные свободны;

Sk — заняты ровно к каналов, остальные свободны;

Sn — заняты все п каналов, заявка получает отказ в обслуживании.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р0, ..., Рк, ..., Рп будут иметь следующий вид:

^- = Х-Рк_1-{Х+кц)Рк+ц-(к + 1)Рк+1 \<к<п-\ (3.26)

Начальные условия решения системы таковы:

Р0(0) = 1, Р}(0) = Р2(0) = ... = Рк(0) = ... = Рп(0) = 0. Стационарное решение системы имеет вид: Э*

А:!

пк

Pv =•

А, Л = 0,1,2,...,л

*=0 Л!

(3.27)

1

к = 0,1,2,..., л,

где Р =

Ц

Формулы для вычисления вероятностей Рк называются формулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме.

Вероятность отказа определяет формула

р =Р =?І А (3.28)

ОТ К Гп пу г0- v 7

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все л каналов заняты.

Величина Ротк характеризует полноту обслуживания входящего потока.

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же — относительная пропускная способность системы q) дополняет Ртк до единицы:

(3.29)

9 = 1-Ротк=1-^-Р0.

Абсолютная пропускная способность показывается формулой

A = X q = X-( 1- Ртк). (3.30)

Среднее число каналов, занятых обслуживанием (к), следующее:

(3.31)

к=Ік-Рк=р(1-Ртк). k=1

Величина к характеризует степень загрузки СМО.

Пример 3.4. Пусть я-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (п = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность X = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания /обсл = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.

Требуется вычислить финальные значения: вероятности состояний ВЦ; вероятности отказа в обслуживании заявки; относительной пропускной способности ВЦ; абсолютной пропускной способности ВЦ; среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение

Определим параметр ц потока обслуживание

ц = = —= 0,555.

'обсл

Приведенная интенсивность потока заявок равна:

р = X/ix = 1/0,555 = 1,8.

Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эр- ланга (3.27):

Р\ = jT^o =1,8-Р0;

2

P2=^Po=h62P0;

Рз=^Р0=0,97Р0;

Р° = = 1 +1,8 +1,62 + 0,97 =0Д86;

*?0

Рх = 1,8 • 0,186 = 0,334;

Р2 = 1,62 • 0,186 = 0,301;

Р3 = 0,97 • 0,186 = 0,180.

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки

Ротк = Ръ = 0,180.

Относительная пропускная способность ВЦ

Я = 1 - Л>тк = 1 - 0,180 = 0,820.

Абсолютная пропускная способность ВЦ

А = X q = 1 • 0,820 = 0,820.

Среднее число занятых каналов - ПЭВМ

к = р • (1 - Ротк) = 1,8 • (1 - 0,180) = 1,476.

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать.

Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р3 = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных Яиц можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (3.28):

^отк ~~ * Л)* п\

Составим следующую таблицу: п 1 2 3 4 5 6 Ро 0,357 0,226 0,186 0,172 0,167 0,166 р

1 отк 0,643 0,367 0,18 0,075 0,026 0,0078

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях X и |и до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при п = 6 вероятность отказа в обслуживании (POTK) составляет 0,0078.

Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием.

Процесс массового обслуживания с ожиданием характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновски- ми с интенсивностями Яиц соответственно; параллельно могут обслуживаться не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/ц.

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

(п + 1) її Рп+1

CliPn+1

(3.32)

О = X />„_! - (X + п • ц) Рп при 1 < п < С; О = Я Pn_i - (Л + С • ji) Рп при п > С.

Решение системы уравнений (3.32) имеет вид:

Р

при 0<п<С,

Р„ =— Р0, при п>С,

С1С"~с

где

-1

<1.

Решение будет действительным, если выполняется следующее X

условие:

цС

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

Pel

(3.36)

С р (С-Р)

вероятность того, что в системе находится п клиентов на обслуживании, определяется по формулам (3.33) и (3.34); среднее число клиентов в очереди на обслуживание

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)

(3.37)

Ls= Lq + р;

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

(3.38)

средняя продолжительность пребывания клиента в системе

(3.39)

5 9 Н

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример 3.5.

Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассонов- ский и имеет интенсивность Я = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы: вероятности состояний системы; среднее число заявок в очереди на обслуживание; среднее число находящихся в системе заявок; среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди; среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

1. Определим параметр потока обслуживании

JLX = J = 1/0,5 = 2.

2. Приведенная интенсивность потока заявок р = X/ix = 2,5/2,0 = 1,25, при этом Х/\х • с = 2,5/2 • 3 = 0,41.

Поскольку X/\i • с <, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы. 3. Вычислим вероятности состояний системы: Г / \~1 С! lcJ Рп =

л=0

3!

= 0,279;

, Р2 Р3 1+P + Y +

б-0-f)

, , 1,252 1,253 1 + 1.25+-Ч—+

2 6-fi

Pi = уР0 =1,25-0,279 = 0,349;

Р' „ _ 1>25

•0,279 = 0,218;

•0,279 = 0,091;

Р2=^Ро= 2, Р3 n 1.253

Рз=ТРо= 3!

=^-0,279 = 0,028.

Вероятность отсутствия очереди у мастерской

Л™ ~ Ра + Р\ + рг + Рг~ » 0,279 + 0,349 + 0,218 + 0,091 = 0,937.

Среднее число заявок в очереди на обслуживание

Ср

0,091 = 0,111.

Рг =

(С-Р)2

3-1,25 (3-1,25)2

Среднее число находящихся в системе заявок

Ls = Lg + р = 0,111 + 1,25 = 1,361.

Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

Wa == = 0,044 суток.

4 X 2,5

Средняя продолжительность пребывания механизма в мас-терской (в системе)

Ws = Wa +- = 0,044 + і = 0,544 суток. * ц 2

<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания:

  1. 1.3. Анализ научно-прикладных разработок в области снабжения нефтепродуктами автотранспорта
  2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания